Участник:Bormas

1 Задача

Пусть [math] X_1, X_2,...X_n [/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math] F(x) [/math], для которой при [math] x \to +\infty [/math] имеет место следующее представление:[math] F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} [/math], где [math] C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta [/math].

Методом статистического анализа показать, что [math] \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 [/math] и найти коэффициенты [math] a_n \gt 0 [/math].

Построить гистограмму статистики [math] T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} [/math] для функции [math] F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+1)\sqrt{\ln{(x+1)}}}, x \gt 1 [/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.

2 Решение

Обозначим за [math] \overline{F}(x) = 1 - F(x) [/math] Рассмотрим [math] \frac{\overline{F}(tx)}{\overline{F}(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} [/math] при [math]x \to \infty [/math] [math] \Rightarrow [/math] [math] F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)[/math], то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше

Теперь найдем [math] a_n [/math]:

[math] \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}[/math] при [math]x \to \infty [/math], [math] \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n}[/math] [math] \Rightarrow [/math]

[math] \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}}[/math]

[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n}[/math]

[math] \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n}[/math]

Будем искать [math] \ln{a_n} [/math] в виде: [math] \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})[/math], где [math] \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})[/math]

[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n} [/math]

[math] \ln{r_n} \simeq \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})} [/math] - подставляем это в [math] \ln{a_n} [/math]

[math] \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}) [/math]

[math] a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}[/math]

В частном случае (из функции распределения):

[math] C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2} [/math] - находятся путём подставления в [math] \overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}} [/math]

[math] a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}} [/math]

[math] P(X_n^{(n)} \lt xa_n) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} [/math]

[math] \Downarrow [/math]

[math] P(\frac{X_n^{(n)}}{a_n} \lt x) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} [/math] - предельная функция распределения статистики

А сама статистика [math] \frac{X_n^{(n)}}{a_k} [/math] находится следующим образом:

1) Сначала генерируем какое-то количество случайных величин [math] X_1, X_2,..., X_n [/math]

2) Далее берем [math] X_n^{(n)} = X_n [/math], то есть максимально возможный элемент выборки

3) Затем делим [math] X_n^{(n)} [/math] на [math] a_k [/math], получая наш первый элемент статистики [math] \frac{X_n^{(n)}}{a_1} [/math]

4) Далее повторяем пункты 1) - 3) и чем больше статистик мы сгенерируем, тем более точная будет гистограмма

Затем нам нужно сравнить гистограмму статистики с функцией предельного распределения.

3 Распараллеливание

Для того, чтобы задача работала быстрее, имеет смысл создание каждого элемента статистики вынести на отдельные ядра. Самым трудоемким процессом является процесс создания случайной величины из наперед заданной функции распределения.

Алгоритм образования случайных чисел с непрерывным законом распределения (Методичка Пагуровой В.И):

Пусть [math] U [/math] означает случайную величину с равномерным законом распределения [math] U(0, 1), F(x) [/math] -абсолютно непрерывная ф.р., тогда величина [math] X = F^{-1}(U) [/math] имеет ф.р. [math] F(x) [/math]. Предполагается, что случайная величина изменяется в конечной области [math] (a,b). [/math] Если область бесконечна, то в вычислительных целях следует обрезать её, например, в точках [math] a [/math] и [math] b. [/math] Тогда случайная величина будет изменяться в этой конечной области.

Пусть требуется генерировать значения случайной величины [math] X [/math] с плотностью распределения [math] f(x), f(x) \gt 0 [/math] для [math] x \subseteq [a,b], f(x) = 0 [/math] для [math] x \nsubseteq [a,b].[/math]