Участник:Konstantin 013

Основные авторы описания: К.В.Телегин

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Данный алгоритм находит равновесие Нэша в игре двух лиц с конечным числом стратегий

1.2 Математическое описание алгоритма

Определим игру двух лиц. Пусть первый игрок имеет в своём распоряжении стратегии [math] x [/math] из множества стратегий [math] X [/math], а второй игрок стратегии [math] y [/math] из множества стратегий [math] Y [/math]. Будем рассматривать игру в нормальной форме. Это означает, что каждый из игроков выбирает стратегию, не зная выбора партнёра. Пару стратегий [math] (x, y) [/math] будем называть ситуацией. у первого игрока имеется функция выигрыша [math] F(x, y) [/math], а у второго [math] G(x, y) [/math]. определённые на на множестве всех ситуаций [math] X × Y [/math]. каждый игрок стремится, по возможности, максимизировать свою функцию выигрыша. Таким образом, игра двух лиц в нормальной форме может быть задаётся набором [math] \Gamma \langle X, Y, F(x, y), G(x, y) \rangle [/math] Определение. Ситуация [math] (x^0, y^0) [/math] называется равновесием по Нэшу игры [math] \Gamma [/math] если: [math] \max_{x \in X} F(x, y^0) = F(x^0, y^0) \quad , \quad \max_{y \in Y} F(x^0, y) = G(x^0, y^0) [/math]

Иными словами, каждому из игроков невыгодно отколняться от ситуации равновесия.

В данной статье мы рассмотрим нахождение ситуаций равновесий Нэша в случае, когда [math] X, Y [/math] - конечные множества. тогда можно считать, что [math] X = [1, ..., n], Y = [1, ..., m] [/math], а [math] F, G [/math] - являются матрицами [math] R^{n × m} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Сначала будет естественно для каждого столбца матрицы [math] F [/math] найти максимум в нём и для каждой строки матрицы [math] G [/math] найти максимум в ней. Т.е. мы ищем для каждого из [math] m [/math] векторов [math] R^n [/math] мы ищем максимум и для каждого из [math] n [/math] векторов [math] R^m [/math] мы ищем максимум. После этого для каждой ситуации [math] (x^0, y^0) [/math] несложно понять, является ли она равновесием Нэша: нужно просто проверить, что [math] F(x^0, y^0) [/math] - максимальный элемент в [math] y^0 [/math]-м столбце матрицы [math] F [/math] и [math] G(x^0, y^0) [/math] - максимальный элемент в [math] x^0 [/math]-ой строке матрицы [math] G [/math].