Участник:Anastasy/Алгоритм Диница

1 Постановка задачи

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Диница — полиномиальный алгоритм, предназначенный для поиска максимального потока в транспортной сети. Он был предложен советским учёным Ефимом Диницем в 1970 году. Временная сложность алгоритма [math]O(nm^2)[/math]. Достижение этой оценки стало возможно благодаря введению понятий блокирующего потока и слоистой сети.

Основная идея алгоритма состоит в том, чтобы итеративно увеличивать величину потока вдоль некоторых путей из истока в сток. Алгоритм Диница схож с алгоритмом Эдмондса-Карпа, но основное отличие можно понимать так: на каждой итерации поток увеличивается не вдоль одного кратчайшего пути из истока в сток, а вдоль целого набора таких путей (ведь именно такими путями и являются пути в блокирующем потоке слоистой сети).

Идея алгоритма состоит в следующем. Сначала величине потока присваивается 0: [math]f(u, v)=0[/math] для любых [math]u, v \in V[/math].

Алгоритм представляет собой несколько фаз. На каждой фазе сначала строится остаточная сеть, затем по отношению к ней строится слоистая сеть (обходом в ширину), а в ней ищется произвольный блокирующий поток. Найденный блокирующий поток прибавляется к текущему потоку, и на этом очередная итерация заканчивается.

1.2 Математическое описание алгоритма

Математическая постановка задачи приведена в статье ..., мы будем использовать введённые в ней обозначения.

Введём необходимые определения.

Остаточной сетью [math]G^R[/math] по отношению к сети [math]G[/math] и некоторому потоку [math]f[/math] в ней называется сеть, в которой каждому ребру [math](u,v) \in G[/math] с пропускной способностью [math]c_{uv}[/math] и потоком [math]f_{uv}[/math] соответствуют два ребра:

• [math](u,v)[/math] с пропускной способностью [math]c_{uv}^R = c_{uv} - f_{uv}[/math]
• [math](v,u)[/math] с пропускной способностью [math]c_{vu}^R = f_{uv}[/math]

Стоит отметить, что при таком определении в остаточной сети могут появляться кратные рёбра: если в исходной сети было как ребро [math](u,v)[/math], так и [math](v,u)[/math].

Остаточное ребро можно понимать, как меру того, насколько можно увеличить поток вдоль некоторого ребра. Если по ребру [math](u, v)[/math] с пропускной способностью [math]c_{uv}[/math] протекает поток [math]f_{uv}[/math], то поток можно увеличить на [math]c_{uv}-f_{uv}[/math] единиц.

Блокирующим потоком в данной сети называется такой поток, что любой путь из истока [math]s[/math] в сток t содержит насыщенное этим потоком ребро. Иными словами, в данной сети не найдётся такого пути из истока в сток, вдоль которого можно беспрепятственно увеличить поток.

Блокирующий поток не обязательно максимален. Теорема Форда-Фалкерсона говорит о том, что поток будет максимальным тогда и только тогда, когда в остаточной сети не найдётся s-t пути; в блокирующем же потоке ничего не утверждается о существовании пути по рёбрам, появляющимся в остаточной сети.

Слоистая сеть для данной сети строится следующим образом. Сначала определяются длины кратчайших путей из истока s до всех остальных вершин; назовём уровнем {\rm level}[v] вершины её расстояние от истока. Тогда в слоистую сеть включают все те рёбра (u,v) исходной сети, которые ведут с одного уровня на какой-либо другой, более поздний, уровень, т.е. {\rm level}[u] + 1 = {\rm level}[v] (почему в этом случае разница расстояний не может превосходить единицы, следует из свойства кратчайших расстояний). Таким образом, удаляются все рёбра, расположенные целиком внутри уровней, а также рёбра, ведущие назад, к предыдущим уровням.

Очевидно, слоистая сеть ациклична. Кроме того, любой s-t путь в слоистой сети является кратчайшим путём в исходной сети.

Алгоритм представляет собой несколько фаз. На каждой фазе сначала строится остаточная сеть, затем по отношению к ней строится слоистая сеть (обходом в ширину), а в ней ищется произвольный блокирующий поток. Найденный блокирующий поток прибавляется к текущему потоку, и на этом очередная итерация заканчивается.