Участник:Anastasy/Алгоритм Диница: различия между версиями
Anastasy (обсуждение | вклад) |
Anastasy (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 34: | Строка 34: | ||
=== Макроструктура алгоритма === | === Макроструктура алгоритма === | ||
Одним из важных шагов алгоритма является поиск блокирующего потока. Опишем, каким образом это можно сделать. | Одним из важных шагов алгоритма является поиск блокирующего потока. Опишем, каким образом это можно сделать. | ||
| + | |||
Ищем <math>s-t</math> пути по одному обходом в глубину, пока такие пути находятся, при этом удаляем те ребра, вдоль которых невозможно дойти до стока. Для этого достаточно удалять ребро после того, как мы просмотрели его в обходе в глубину (кроме того случая, когда мы прошли вдоль ребра и нашли путь до стока). С точки зрения реализации, надо просто поддерживать в списке смежности каждой вершины указатель на первое неудалённое ребро, и увеличивать этот указатель в цикле внутри обхода в глубину. | Ищем <math>s-t</math> пути по одному обходом в глубину, пока такие пути находятся, при этом удаляем те ребра, вдоль которых невозможно дойти до стока. Для этого достаточно удалять ребро после того, как мы просмотрели его в обходе в глубину (кроме того случая, когда мы прошли вдоль ребра и нашли путь до стока). С точки зрения реализации, надо просто поддерживать в списке смежности каждой вершины указатель на первое неудалённое ребро, и увеличивать этот указатель в цикле внутри обхода в глубину. | ||
| Строка 39: | Строка 40: | ||
Структуру алгоритма можно описать следующим образом: | Структуру алгоритма можно описать следующим образом: | ||
# Для всех ребер <math>(u, v) \in E</math> сети <math>G</math> присвоим <math>f_{uv}=0</math>. | # Для всех ребер <math>(u, v) \in E</math> сети <math>G</math> присвоим <math>f_{uv}=0</math>. | ||
| − | # Построим остаточную сеть <math>G^R</math> по отношению к сети <math>G</math> и потоку <math>f</math>. Если <math>{\rm level}[t]=∞</math> алгоритм завершает работу и выводит поток <math>f</math>. | + | # Построим остаточную сеть <math>G^R</math> по отношению к сети <math>G</math> и потоку <math>f</math>. Если <math>{\rm level}[t]=∞</math>, алгоритм завершает работу и выводит поток <math>f</math>. |
# Ищем блокирующий поток <math>f'</math> в сети <math>G^R</math> | # Ищем блокирующий поток <math>f'</math> в сети <math>G^R</math> | ||
# Прибавим <math>f'</math> к потоку <math>f</math> и переходим к шагу 2. | # Прибавим <math>f'</math> к потоку <math>f</math> и переходим к шагу 2. | ||
Версия 17:18, 20 октября 2017
Содержание
1 Постановка задачи
1.1 Общее описание алгоритма
Алгоритм Диница [1] — полиномиальный алгоритм, предназначенный для поиска максимального потока в транспортной сети. Он был предложен советским учёным Ефимом Диницем в 1970 году. Временная сложность алгоритма [math]O(nm^2)[/math], где [math]m[/math] — число ребер, а [math]n[/math] — число вершин.
Основная идея алгоритма состоит в том, чтобы итеративно увеличивать величину потока вдоль некоторых путей из истока в сток. Алгоритм Диница схож с алгоритмом Эдмондса-Карпа[2], но основное отличие можно понимать так: на каждой итерации поток увеличивается не вдоль одного кратчайшего пути из истока в сток, а вдоль целого набора таких путей.
1.2 Математическое описание алгоритма
Математическая постановка задачи приведена в статье "Поиск максимального потока в транспортной сети", мы будем использовать введённые в ней обозначения.
Введём необходимые определения.
Остаточной сетью [math]G^R[/math] по отношению к сети [math]G=(V, E)[/math] и некоторому потоку [math]f[/math] в ней называется сеть, в которой каждому ребру [math](u,v) \in E[/math] с пропускной способностью [math]c_{uv}[/math] и потоком [math]f_{uv}[/math] соответствуют два ребра:
- [math](u,v)[/math] с пропускной способностью [math]c_{uv}^R = c_{uv} - f_{uv}[/math]
- [math](v,u)[/math] с пропускной способностью [math]c_{vu}^R = f_{uv}[/math]
Стоит отметить, что при таком определении в остаточной сети могут появляться кратные рёбра: если в исходной сети было как ребро [math](u,v)[/math], так и [math](v,u)[/math].
Блокирующим потоком в данной сети называется такой поток, что любой путь из истока [math]s[/math] в сток [math]t[/math] содержит насыщенное этим потоком ребро (то есть [math]c_{uv} = f_{uv}[/math] для некоторых [math]u,v \in V[/math]). Иными словами, в данной сети не найдётся такого пути из истока в сток, вдоль которого можно беспрепятственно увеличить поток.
Блокирующий поток не обязательно максимален. Согласно теореме Форда-Фалкерсона поток будет максимальным тогда и только тогда, когда в остаточной сети [math]G^R[/math] не найдётся [math]s-t[/math] пути; в блокирующем же потоке ничего не утверждается о существовании пути по рёбрам, появляющимся в остаточной сети.
Слоистая сеть для данной сети строится следующим образом. Сначала определяются длины кратчайших путей из истока s до всех остальных вершин; назовём уровнем [math]{\rm level}[v][/math] вершины её расстояние от истока. Тогда в слоистую сеть включают все те рёбра [math](u,v)[/math] исходной сети, которые ведут с одного уровня на какой-либо другой, более поздний, уровень, т.е. [math]{\rm level}[u] + 1 = {\rm level}[v][/math] (разница расстояний не может превосходить единицы, это следует из свойства кратчайших расстояний). Таким образом, удаляются все рёбра, расположенные целиком внутри уровней, а также рёбра, ведущие назад, к предыдущим уровням.
Слоистая сеть ациклична. Кроме того, любой [math]s-t[/math] путь в слоистой сети является кратчайшим путём в исходной сети.
Алгоритм представляет собой несколько фаз. На каждой фазе сначала строится остаточная сеть, затем по отношению к ней строится слоистая сеть (обходом в ширину), а в ней ищется произвольный блокирующий поток. Найденный блокирующий поток прибавляется к текущему потоку, и на этом очередная итерация заканчивается. Алгоритм заканчивает свою работу, когда в построенной на некоторой итерации остаточной сети не найдётся [math]s-t[/math] пути.
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Наибольший объем вычислений приходится на:
- поиск в ширину (для построения слоистой сети)
- обход в глубину (для построения блокирующего потока)
1.4 Макроструктура алгоритма
Одним из важных шагов алгоритма является поиск блокирующего потока. Опишем, каким образом это можно сделать.
Ищем [math]s-t[/math] пути по одному обходом в глубину, пока такие пути находятся, при этом удаляем те ребра, вдоль которых невозможно дойти до стока. Для этого достаточно удалять ребро после того, как мы просмотрели его в обходе в глубину (кроме того случая, когда мы прошли вдоль ребра и нашли путь до стока). С точки зрения реализации, надо просто поддерживать в списке смежности каждой вершины указатель на первое неудалённое ребро, и увеличивать этот указатель в цикле внутри обхода в глубину.
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
Структуру алгоритма можно описать следующим образом:
- Для всех ребер [math](u, v) \in E[/math] сети [math]G[/math] присвоим [math]f_{uv}=0[/math].
- Построим остаточную сеть [math]G^R[/math] по отношению к сети [math]G[/math] и потоку [math]f[/math]. Если [math]{\rm level}[t]=∞[/math], алгоритм завершает работу и выводит поток [math]f[/math].
- Ищем блокирующий поток [math]f'[/math] в сети [math]G^R[/math]
- Прибавим [math]f'[/math] к потоку [math]f[/math] и переходим к шагу 2.
2 Программная реализация алгоритма
3 Литература
- ↑ Yefim Dinitz (1970). "Algorithm for solution of a problem of maximum flow in a network with power estimation". Doklady Akademii nauk SSSR.
- ↑ Edmonds, Jack; Karp, Richard M. (1972). "Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems". Journal of the ACM. Association for Computing Machinery
