Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ): различия между версиями
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Рассмотрим систему уравнений <math> Ax = b </math>, где <math> A^* = A > 0 </math>. <br> | Рассмотрим систему уравнений <math> Ax = b </math>, где <math> A^* = A > 0 </math>. <br> | ||
Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)} </math>, <math>x = x^{(0)} + u </math>. <br> | Выберем произвольное начальное приближение <math> x^{(0)} </math> и перейдем к редуцированной системе <math> Au = r^{(0)} </math>, где <math> r^{(0)} = b - Ax^{(0)} </math>, <math>x = x^{(0)} + u </math>. <br> | ||
| − | Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y | + | Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова <math> K_i(r^{(0)}, A) </math> A-норму ошибки <math> e = x - z </math>, где <math> z </math> — точное решение системы. Таким образом, <math> x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} </math>, где <math> y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A </math> |
=== Вычислительное ядро алгоритма === | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
Версия 22:10, 21 октября 2017
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.
1.2 Математическое описание алгоритма
Рассмотрим систему уравнений Ax = b , где A^* = A \gt 0 .
Выберем произвольное начальное приближение x^{(0)} и перейдем к редуцированной системе Au = r^{(0)} , где r^{(0)} = b - Ax^{(0)} , x = x^{(0)} + u .
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова K_i(r^{(0)}, A) A-норму ошибки e = x - z , где z — точное решение системы. Таким образом, x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} , где y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y - z ||_A
