Участник:Zhu.a-v/Алгоритм Киркпатрика: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 11: Строка 11:
 
Справедлива следующая интерпретация выпуклой оболочки: если вбить в деревянную доску несколько гвоздей, забивая их только до середины ножки, затем накинуть вокруг них петлю веревки и затянуть, веревка опишет выпуклую оболочку для множества точек-гвоздей.
 
Справедлива следующая интерпретация выпуклой оболочки: если вбить в деревянную доску несколько гвоздей, забивая их только до середины ножки, затем накинуть вокруг них петлю веревки и затянуть, веревка опишет выпуклую оболочку для множества точек-гвоздей.
  
Применим рекурсивный подход "разделяй и властвуй" для решения поставленной задачи:  
+
==Математическое описание алгоритма==
 +
 
 +
Входные данные: множество точек <math> X = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}</math>.
  
1. Если множество состоит менее, чем из <math> 6 </math> элементов, вычислим выпуклую оболочку напрямую перебором наборов точек. Иначе шаг 2.
+
Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости <math> X </math> --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в <math> X </math>, и все остальные элементы <math> X </math> лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки <math> conv X </math> сводится к выбору такого набора вершин <math> (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) </math> , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества <math> X </math>.
  
2. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на 2 примерно одинаковых подмножества. Для каждого из них найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.
+
Выходные данные: множество точек <math> conv X </math> --- вершины выпуклой оболочки для множества <math> X </math>.
  
3. Построим общую выпуклую оболочку по двум, построенным на предыдущем шаге.
 
  
==Математическое описание алгоритма==
+
Применим рекурсивный подход "разделяй и властвуй" для решения поставленной задачи:
  
Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости <math> X = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}</math> --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в <math> X </math>, и все остальные элементы <math> X </math> лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки <math> conv X </math> сводится к выбору такого набора вершин <math> (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) </math> , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества <math> X </math>.
+
1. Если множество состоит из 1 элемента, его выпуклая оболочка совпадает с самим множеством. Иначе шаг 2.
  
Для выполнения шага 1 достаточно проверить все возможные тройки, четверки и пятерки точек и выбрать из них подходящую под определение выпуклой оболочки.
+
2. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на два примерно одинаковых подмножества <math> X_l </math>, <math> X_r </math>. Выберем для этого следующую прямую: <math> x = \frac{\sum_{(a,b) \in T} a}{|T|} </math> --- это вертикальная линия, медиана абцисс точек множества, для которого на текущем шаге строится выпуклая оболочка. Для каждого из полученных подмножеств найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.
  
Шаг 2 требует выбора разделяющей прямой: выберем прямую <math> x = /underline{x} </math>
+
3. Построим <math> conv(X) </math> по <math> conv(X_l) </math> и <math> conv(X_r) </math>, построенным на предыдущем шаге. Поскольку множества <math> X_l </math> и <math> X_r </math> разделены вертикальной линией, их
+
выпуклые оболочки представляют собой непересекающиеся выпуклые многоугольники. Следовательно, для построения общей выпуклой
 +
оболочки этих многоугольников достаточно найти их общие касательные - верхнюю и нижнюю, а затем отбросить правую цепочку в
 +
многоугольнике <math> conv(X_l) </math> и левую цепочку в многоугольнике <math> conv(X_r) </math>.
 +
Пусть левый и правый многоугольники представлены списками вершин <math> P_l </math> и <math> P_r </math>. Поиск общей касательной начнем с мостика <math>(u,v)</math>, соединяющего самую правую вершину <math>u</math> в <math> P_l </math> с самой левой вершиной <math>v</math> в <math> P_r </math>. Далее будем последовательно перемещать эти вершины вдоль границ выпуклых
 +
многоугольников против часовой стрелки в <math> P_l </math> и по часовой стрелке в <math> P_r </math> до тех пор, пока существуют вершины, лежащие слева от вектора <math>(u,v)</math>. Таким образом мы найдем общую верхнюю касательную. Аналогично, вычислим нижнюю касательную. Но перемещение теперь осуществляется по часовой стрелке в <math> P_l </math> и против часовой стрелки в <math> P_r </math>. Поиск нижней касательной завершается, когда мостик окажется в положении, при котором не существует вершин, лежащих справа от вектора <math>(u,v)</math>. <ref>Местецкий Л.М. Лекции по вычислительной геометрии. Учебное пособие. ВМК МГУ, 2013.</ref>
  
 
==Вычислительное ядро алгоритма==
 
==Вычислительное ядро алгоритма==

Версия 23:34, 23 октября 2017

Автор статьи: Журавская Александра

1 Свойства и структура алгоритма

Алгоритм Киркпатрика решает задачу построения выпуклой оболочки набора точек методом "разделяй и властвуй" [1].

1.1 Общее описание алгоритма

Выпуклой оболочкой множества [math] X [/math] называется наименьшее выпуклое множество, содержащее множество [math] X [/math].

Справедлива следующая интерпретация выпуклой оболочки: если вбить в деревянную доску несколько гвоздей, забивая их только до середины ножки, затем накинуть вокруг них петлю веревки и затянуть, веревка опишет выпуклую оболочку для множества точек-гвоздей.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные: множество точек [math] X = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}[/math].

Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости [math] X [/math] --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в [math] X [/math], и все остальные элементы [math] X [/math] лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки [math] conv X [/math] сводится к выбору такого набора вершин [math] (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) [/math] , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества [math] X [/math].

Выходные данные: множество точек [math] conv X [/math] --- вершины выпуклой оболочки для множества [math] X [/math].


Применим рекурсивный подход "разделяй и властвуй" для решения поставленной задачи:

1. Если множество состоит из 1 элемента, его выпуклая оболочка совпадает с самим множеством. Иначе шаг 2.

2. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на два примерно одинаковых подмножества [math] X_l [/math], [math] X_r [/math]. Выберем для этого следующую прямую: [math] x = \frac{\sum_{(a,b) \in T} a}{|T|} [/math] --- это вертикальная линия, медиана абцисс точек множества, для которого на текущем шаге строится выпуклая оболочка. Для каждого из полученных подмножеств найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.

3. Построим [math] conv(X) [/math] по [math] conv(X_l) [/math] и [math] conv(X_r) [/math], построенным на предыдущем шаге. Поскольку множества [math] X_l [/math] и [math] X_r [/math] разделены вертикальной линией, их выпуклые оболочки представляют собой непересекающиеся выпуклые многоугольники. Следовательно, для построения общей выпуклой оболочки этих многоугольников достаточно найти их общие касательные - верхнюю и нижнюю, а затем отбросить правую цепочку в многоугольнике [math] conv(X_l) [/math] и левую цепочку в многоугольнике [math] conv(X_r) [/math]. Пусть левый и правый многоугольники представлены списками вершин [math] P_l [/math] и [math] P_r [/math]. Поиск общей касательной начнем с мостика [math](u,v)[/math], соединяющего самую правую вершину [math]u[/math] в [math] P_l [/math] с самой левой вершиной [math]v[/math] в [math] P_r [/math]. Далее будем последовательно перемещать эти вершины вдоль границ выпуклых многоугольников против часовой стрелки в [math] P_l [/math] и по часовой стрелке в [math] P_r [/math] до тех пор, пока существуют вершины, лежащие слева от вектора [math](u,v)[/math]. Таким образом мы найдем общую верхнюю касательную. Аналогично, вычислим нижнюю касательную. Но перемещение теперь осуществляется по часовой стрелке в [math] P_l [/math] и против часовой стрелки в [math] P_r [/math]. Поиск нижней касательной завершается, когда мостик окажется в положении, при котором не существует вершин, лежащих справа от вектора [math](u,v)[/math]. [2]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

<references \>

  1. Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1986). "The ultimate planar convex hull algorithm". SIAM Journal on Computing. 15 (1): 287–299.
  2. Местецкий Л.М. Лекции по вычислительной геометрии. Учебное пособие. ВМК МГУ, 2013.