Версия 23:37, 23 октября 2017

Автор статьи: Журавская Александра

Содержание

1 Свойства и структура алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритма

Алгоритм Киркпатрика решает задачу построения выпуклой оболочки набора точек методом "разделяй и властвуй" ^[1].

1.1 Общее описание алгоритма

Выпуклой оболочкой множества [math] X [/math] называется наименьшее выпуклое множество, содержащее множество [math] X [/math].

Справедлива следующая интерпретация выпуклой оболочки: если вбить в деревянную доску несколько гвоздей, забивая их только до середины ножки, затем накинуть вокруг них петлю веревки и затянуть, веревка опишет выпуклую оболочку для множества точек-гвоздей.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные: множество точек [math] X = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}[/math].

Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости [math] X [/math] --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в [math] X [/math], и все остальные элементы [math] X [/math] лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки [math] conv(X) [/math] сводится к выбору такого набора вершин [math] (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) [/math] , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества [math] X [/math].

Выходные данные: множество точек [math] conv(X) [/math] --- вершины выпуклой оболочки для множества [math] X [/math].

Применим рекурсивный подход "разделяй и властвуй" для решения поставленной задачи:

1. Если множество состоит из 1 элемента, его выпуклая оболочка совпадает с самим множеством. Иначе шаг 2.

2. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на два примерно одинаковых подмножества [math] X_l [/math], [math] X_r [/math]. Выберем для этого вертикальную линию, являющуюся медианой абцисс точек множества, для которого на текущем шаге строится выпуклая оболочка. Для каждого из полученных подмножеств найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.

3. Построим [math] conv(X) [/math] по [math] conv(X_l) [/math] и [math] conv(X_r) [/math], построенным на предыдущем шаге. Поскольку множества [math] X_l [/math] и [math] X_r [/math] разделены вертикальной линией, их выпуклые оболочки представляют собой непересекающиеся выпуклые многоугольники. Следовательно, для построения общей выпуклой оболочки этих многоугольников достаточно найти их общие касательные - верхнюю и нижнюю, а затем отбросить правую цепочку в многоугольнике [math] conv(X_l) [/math] и левую цепочку в многоугольнике [math] conv(X_r) [/math]. Пусть левый и правый многоугольники представлены списками вершин [math] P_l [/math] и [math] P_r [/math]. Поиск общей касательной начнем с мостика [math](u,v)[/math], соединяющего самую правую вершину [math]u[/math] в [math] P_l [/math] с самой левой вершиной [math]v[/math] в [math] P_r [/math]. Далее будем последовательно перемещать эти вершины вдоль границ выпуклых многоугольников против часовой стрелки в [math] P_l [/math] и по часовой стрелке в [math] P_r [/math] до тех пор, пока существуют вершины, лежащие слева от вектора [math](u,v)[/math]. Таким образом мы найдем общую верхнюю касательную. Аналогично, вычислим нижнюю касательную. Но перемещение теперь осуществляется по часовой стрелке в [math] P_l [/math] и против часовой стрелки в [math] P_r [/math]. Поиск нижней касательной завершается, когда мостик окажется в положении, при котором не существует вершин, лежащих справа от вектора [math](u,v)[/math]. ^[2]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

↑ Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1986). "The ultimate planar convex hull algorithm". SIAM Journal on Computing. 15 (1): 287–299.
↑ Местецкий Л.М. Лекции по вычислительной геометрии. Учебное пособие. ВМК МГУ, 2013.

[1] Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1986). "The ultimate planar convex hull algorithm". SIAM Journal on Computing. 15 (1): 287–299.

[2] Местецкий Л.М. Лекции по вычислительной геометрии. Учебное пособие. ВМК МГУ, 2013.

[1]

[2]

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 Входные данные: множество точек <math> X = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}</math>.
-Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости <math> X </math> --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в <math> X </math>, и все остальные элементы <math> X </math> лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки <math> conv X </math> сводится к выбору такого набора вершин <math> (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) </math> , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества <math> X </math>.
+Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости <math> X </math> --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в <math> X </math>, и все остальные элементы <math> X </math> лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки <math> conv(X) </math> сводится к выбору такого набора вершин <math> (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) </math> , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества <math> X </math>.
-Выходные данные: множество точек <math> conv X </math> --- вершины выпуклой оболочки для множества <math> X </math>.
+Выходные данные: множество точек <math> conv(X) </math> --- вершины выпуклой оболочки для множества <math> X </math>.
@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 . Если множество состоит из 1 элемента, его выпуклая оболочка совпадает с самим множеством. Иначе шаг 2.
-. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на два примерно одинаковых подмножества <math> X_l </math>, <math> X_r </math>. Выберем для этого следующую прямую: <math> x = \frac{\sum_{(a,b) \in T} a}{|T|} </math> --- это вертикальная линия, медиана абцисс точек множества, для которого на текущем шаге строится выпуклая оболочка. Для каждого из полученных подмножеств найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.
+. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на два примерно одинаковых подмножества <math> X_l </math>, <math> X_r </math>. Выберем для этого вертикальную линию, являющуюся медианой абцисс точек множества, для которого на текущем шаге строится выпуклая оболочка. Для каждого из полученных подмножеств найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.
 . Построим <math> conv(X) </math> по <math> conv(X_l) </math> и <math> conv(X_r) </math>, построенным на предыдущем шаге. Поскольку множества <math> X_l </math> и <math> X_r </math> разделены вертикальной линией, их

Участник:Zhu.a-v/Алгоритм Киркпатрика: различия между версиями