Участник:Svetlanalarina/Алгоритм поиска наилучшего времени регулирования для СУ 2го порядка: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 47: Строка 47:
  
 
Вычислительным ядром является поиск по конкретным <math> t_i \in [t_1,t_2]</math> коэффициентов и перерегулирования. Для сравнения перерегулирований возможны параллельные и не параллельные алгоритмы сортировки или поиска, пока это вопрос реализации.
 
Вычислительным ядром является поиск по конкретным <math> t_i \in [t_1,t_2]</math> коэффициентов и перерегулирования. Для сравнения перерегулирований возможны параллельные и не параллельные алгоритмы сортировки или поиска, пока это вопрос реализации.
 +
 +
=== Макроструктура алгоритма ===
 +
 +
Основными операциями являются нахождение <math> A_{1}, A_{2} </math> и <math> \sigma </math> (далее будем называть их парамтерами) из следующих выражений:
 +
 +
: <math>
 +
A_1 = \dfrac{\Delta - e^{s_2 t_p}}{e^{s_1 t_p} - e^{s_2 t_p}}\\
 +
A_2=1-A1, \\
 +
\sigma = A_1e^{s_1 t_{max}}+A_2e^{s_2 t_{max}}  \cdot 100 \%.
 +
</math>
 +
 +
Так же в программе используется в функции редукции поиск минимального <math> \sigma </math> простым последовательным сравнением.
 +
 +
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 +
 +
1) Считывание данных, а именно <math> t_{1}, t_{2}, s_1, s_2, t_{max}, cut </math>, где <math>cut</math> - количество <math> t_i</math> (разбиение);
 +
 +
2) Разделение необходимого числа <math> t_i </math> между процессами;
 +
 +
3) Вычисление всеми процессами <math> A_{1}, A_{2} </math> и <math> \sigma </math> на каждом <math> t_i </math> (описано в макроструктуре);
 +
 +
4) Поиск в цикле наилучшего набора параметров;
 +
 +
5) Сравнение наборов от каждого процесса с помощью функции редукции (предусмотренной в MPI), и поиск тем самым результирующего набора. Для этого необходимо описать функцию сравнений наборов параметров по <math> \sigma </math>.
 +
 +
=== Последовательная сложность алгоритма ===
 +
 +
Сложность вычислительного ядра можно оценить примерно следующим образом:
 +
Для разбиения n понадобится:
 +
 +
<math>13n </math>- арифметических операций, <math> 5n </math>- взятий экспоненты, а так же как минимум <math>n </math>сравнений.
 +
 +
=== Информационный граф ===
 +
Граф алгоритма опишем аналитически и в виде рисунка.
 +
 +
Вершины это начальные данные <math> t_i </math>, которые разнятся от процесса к процессу. Далее в вершинах функции <math> f </math>, осуществляющие поиск по <math> t_i </math> набора <math> [\sigma,A_1,A_2,t_i]</math>, которых существует блоком для передачи в результат. Затем от функции  <math> f </math> наборы переходят на операцию сравнения наборов по параметру <math> \sigma</math>. В качестве результата получаем удовлетворяющий нас набор.
 +
 +
[[Файл:Graph111.png]]
  
 
= Литература =
 
= Литература =

Версия 21:27, 1 декабря 2017

Основные авторы описания: С. Ларина (414 группа)

1 Свойства и структура алгоритмов

Метод поиска времени регулирования, который будет описан и продемонстрирован имеет исключительно демонстрационный характер (демонстрация распараллеливания), но касается моей научной работы.

1.1 Общее описание алгоритма

Время регулирования является важным критерием качества в системах управления. Поэтому важен не только его поиск для конкретной системы, но и его задание, чтобы реализовывать системы с конкретными критериями качества. В моей научной работе я касаюсь этого показателя применительно к термоядерной установке токамак. Итогом алгоритма станет оптимальное для нашей системы сочетание минимального времени регулирования и минимального перерегулирования на заданном отрезке.

Для лучшего понимания объектов и терминов в данном алгоритме, стоит описать глоссарий:

[math] \Delta [/math] трубка - это линии отклонения на 5-10% от установившегося значения системы.

Время регулирования [math] t_p [/math] - это время, когда график функции, которая описывает динамическую систему, сходит в [math] \Delta [/math] трубку и более не выходит за её пределы.

Перерегулирование [math] \sigma [/math] - отклонение графика от установившегося значения, который выражается в процентах.


1.2 Математическое описание алгоритма

Для системы управления 2-го порядка поиск времени регулирования может быть найден из следующих уравнений

[math] \begin{cases} \Delta = A_1e^{s_1 t_p}+A_2e^{s_2 t_p}, \\ A_1+A_2=1. \end{cases} [/math],

где заданы полюса [math] s_1 \lt s_2 \lt 0 [/math] и известно [math] \Delta [/math].

Мой алгоритм поиска [math] t_p [/math] заключается в том, что я задаю конкретный диапазон, в который должно входить мое время [math] t_p \in [t_1,t_2][/math]. Затем для каждого [math] t_i \in [t_1,t_2][/math] производится подбор соответствующих [math] A_1 [/math] и [math] A_2 [/math] с помощью уравнений описанных выше. Эти коэффициенты нужны для подстановки в следующее выражение на перерегулирование [math] \sigma [/math]:

[math] \sigma = e_{max} \cdot 100 \%, \\ e_{max} = A_1e^{s_1 t_{max}}+A_2e^{s_2 t_{max}}. [/math]


Для [math] n [/math] различных [math] t_i [/math] на отрезке будем находить перерегулирования [math] \sigma_i [/math], а так же сохранять соответствующие ему коэффициенты [math] A_{1,i}, A_{2,i} [/math] и непосредственно само значение [math] t_i [/math].

Сравнивая [math] \sigma_i [/math], находим наименьшее из них. Таким образом, получим результат алгоритма: минимальное время регулирования и минимальное перерегулирование.


1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром является поиск по конкретным [math] t_i \in [t_1,t_2][/math] коэффициентов и перерегулирования. Для сравнения перерегулирований возможны параллельные и не параллельные алгоритмы сортировки или поиска, пока это вопрос реализации.

1.3.1 Макроструктура алгоритма

Основными операциями являются нахождение [math] A_{1}, A_{2} [/math] и [math] \sigma [/math] (далее будем называть их парамтерами) из следующих выражений:

[math] A_1 = \dfrac{\Delta - e^{s_2 t_p}}{e^{s_1 t_p} - e^{s_2 t_p}}\\ A_2=1-A1, \\ \sigma = A_1e^{s_1 t_{max}}+A_2e^{s_2 t_{max}} \cdot 100 \%. [/math]

Так же в программе используется в функции редукции поиск минимального [math] \sigma [/math] простым последовательным сравнением.

1.3.2 Схема реализации последовательного алгоритма

1) Считывание данных, а именно [math] t_{1}, t_{2}, s_1, s_2, t_{max}, cut [/math], где [math]cut[/math] - количество [math] t_i[/math] (разбиение);

2) Разделение необходимого числа [math] t_i [/math] между процессами;

3) Вычисление всеми процессами [math] A_{1}, A_{2} [/math] и [math] \sigma [/math] на каждом [math] t_i [/math] (описано в макроструктуре);

4) Поиск в цикле наилучшего набора параметров;

5) Сравнение наборов от каждого процесса с помощью функции редукции (предусмотренной в MPI), и поиск тем самым результирующего набора. Для этого необходимо описать функцию сравнений наборов параметров по [math] \sigma [/math].

1.3.3 Последовательная сложность алгоритма

Сложность вычислительного ядра можно оценить примерно следующим образом: Для разбиения n понадобится:

[math]13n [/math]- арифметических операций, [math] 5n [/math]- взятий экспоненты, а так же как минимум [math]n [/math]сравнений.

1.3.4 Информационный граф

Граф алгоритма опишем аналитически и в виде рисунка.

Вершины это начальные данные [math] t_i [/math], которые разнятся от процесса к процессу. Далее в вершинах функции [math] f [/math], осуществляющие поиск по [math] t_i [/math] набора [math] [\sigma,A_1,A_2,t_i][/math], которых существует блоком для передачи в результат. Затем от функции [math] f [/math] наборы переходят на операцию сравнения наборов по параметру [math] \sigma[/math]. В качестве результата получаем удовлетворяющий нас набор.

Graph111.png

2 Литература

Ким Д.П. - Теория автоматического управления. Том 1. Линейные системы - 2003;

Ким Д.П. - Теория автоматического управления. Том 2. Линейные системы - 2004.