|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | = Скалярное произведение векторов, вещественная версия, последовательно-параллельный вариант =
| |
| | | | |
| − | == Свойства и структура алгоритма ==
| |
| − |
| |
| − | === Общее описание алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | '''Скалярное произведение векторов''' используется в качестве одной из базовых операций в широком круге методов. При этом используется как в версии скалярного произведения собственно <math>n</math>-мерных векторов (одномерных массивов размера <math>n</math>), так и в версии скалярного произведения строк, столбцов и других линейных подмножеств массивов большей размерности. Последняя отличается от первой тем, что соответствующая подпрограмма получает, кроме стартовых адресов векторов, также и параметры смещения следующих элементов относительно предыдущих (в первой версии эти смещения равны 1). Разные формулы существуют для скалярных произведений в вещественной арифметике и для комплексных векторов. Здесь мы рассматриваем только вещественную арифметику и последовательно-параллельную реализацию.
| |
| − |
| |
| − | === Математическое описание алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Исходные данные: два одномерных массива n чисел.
| |
| − |
| |
| − | Вычисляемые данные: сумма попарных произведений элементов массива.
| |
| − |
| |
| − | Формулы метода:
| |
| − | число <math>n</math> разлагается в выражение типа
| |
| − | <math>n = (p - 1) k + q</math>,
| |
| − | где <math>p</math> — количество процессоров, <math>k = \lceil \frac{n}{p} \rceil</math>,
| |
| − | <math>q = n - k (p - 1)</math>.
| |
| − | После этого на <math>i</math>-м процессоре (<math>i < p</math>) последовательно вычисляется «частичное» скалярное произведение подмассивов, начиная с <math>(i - 1) k + 1</math>-го номера элемента, до <math>ik</math>-го номера.
| |
| − |
| |
| − | :<math>S_i = \sum_{j = 1}^k a_{k (i - 1) + j} b_{k (i - 1) + j}</math>
| |
| − |
| |
| − | На <math>p</math>-м процессоре последовательно вычисляется «частичное» скалярное произведение подмассивов, начиная с <math>(p - 1) k + 1</math>-го номера элемента до <math>(p - 1) k + q</math>-го номера.
| |
| − |
| |
| − | :<math>S_p = \sum_{j = 1}^q a_{k (p - 1) + j} b_{k (p - 1) + j}</math>
| |
| − |
| |
| − | По окончании этого процесса процессоры обмениваются данными и на одном из них (либо на всех одновременно, если результат нужен далее на всех процессорах) получившиеся суммы суммируются последовательно друг с другом.
| |
| − |
| |
| − | :<math>\sum_{i = 1}^p S_i</math>
| |
| − |
| |
| − | При этом в последовательно-параллельном варианте при вычислений сумм из формул используется последовательный порядок суммирования (обычно от меньших индексов к большим).
| |
| − |
| |
| − | === Вычислительное ядро алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Вычислительное ядро скалярного произведения в последовательно-параллельном варианте можно представить как <math>p</math> вычислений «частных» скалярных произведений c последующим последовательным суммированием получившихся <math>p</math> чисел.
| |
| − |
| |
| − | === Макроструктура алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть вычисления скалярного произведения составляют параллельное вычисление скалярных произведений меньшей размерности последовательным методом и последовательное вычисление суммы получившихся «частных» скалярных произведений подмассивов.
| |
| − |
| |
| − | === Схема реализации последовательного алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Формулы метода описаны выше. Последовательность исполнения суммирования может быть разная — как по возрастанию, так и по убыванию индексов. Обычно без особых причин порядок не меняют, используя естественный (возрастание индексов).
| |
| − |
| |
| − | === Последовательная сложность алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Для вычисления скалярного произведения массивов, состоящих из <math>n</math> элементов, при любых разложениях количество операций умножения неизменно и равно <math>n</math>, а количество операций сложения равно <math>n - 1</math>. Поэтому алгоритм должен быть отнесён к алгоритмам ''линейной'' сложности по количеству последовательных операций.
| |
| − |
| |
| − | === Информационный граф ===
| |
| − |
| |
| − | На рис.1 изображён граф аогоритма. Однако следует отметить, что в большинстве случаев программисты не экономят на одном вызове операции сложения, а инициализируют начальное значение переменной нулём. В этом случае граф становится таким, как на рис.2 (n=24).
| |
| − |
| |
| − | {| align="left"
| |
| − | |- valign="top"
| |
| − | | [[file:series-parallel dot product graph.png|thumb|750px|Рисунок 1. Последовательно-параллельное вычисление скалярного произведения с экономией операций сложения]]
| |
| − | | [[file:Series-parallel dot product graph straight.png|thumb|790px|Рисунок 2. Последовательно-параллельное вычисление скалярного произведения без экономии операций сложения]]
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | === Ресурс параллелизма алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Для вычисления скалярного произведения массивов порядка <math>n</math> последовательно-параллельным методом в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
| |
| − | * 1 ярус вычисления произведений,
| |
| − | * <math>k - 1</math> ярусов суммирования по частям массивов (<math>p</math> ветвей),
| |
| − | * <math>p - 1</math> ярусов суммирования (одна последовательная ветвь).
| |
| − |
| |
| − | Таким образом, в параллельном варианте критический путь алгоритма (и соответствующая ему высота ЯПФ) будет зависеть от произведённого разбиения массива на части. В оптимальном случае (<math>p = \sqrt{n}</math>) высота ЯПФ будет равна <math> 2 \sqrt{n} - 1</math>. При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, последовательно-параллельный метод относится к алгоритмам ''со сложностью «корень квадратный»''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''«корень квадратный»''.
| |
| − |
| |
| − | === Входные и выходные данные алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Входные данные: массивы <math>a</math> (элементы <math>a_i</math>), <math>b</math> (элементы <math>b_i</math>).
| |
| − |
| |
| − | Дополнительные ограничения: отсутствуют.
| |
| − |
| |
| − | Объём входных данных: <nowiki/><math>2 n</math>.
| |
| − |
| |
| − | Выходные данные: сумма попарных произведений элементов массивов.
| |
| − |
| |
| − | Объём выходных данных: один скаляр.
| |
| − |
| |
| − | === Свойства алгоритма ===
| |
| − |
| |
| − | Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''корнем квадратным'' (отношение линейной к корню квадратному). При этом вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных — всего-навсего ''1 (входных и выходных данных почти столько же, сколько операций; если точнее - даже больше на 2)''. При этом алгоритм полностью детерминирован при заданном разложении <math>n</math>. Дуги информационного графа локальны. Для уменьшения ошибок округления режимом накопления в ряде алгоритмов, использующих скалярное произведение одинарной точности, оно вычисляется с двойной точностью. Впрочем, у последовательно-параллельного способа вычисления скалярного произведения и без режима накопления влияние ошибок округления «в среднем» меньше в <math>\sqrt{n}</math> раз.
| |
| − |
| |
| − | == Литература ==
| |
| − | <references />
| |
