Приложение 10: различия между версиями

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
(Полностью удалено содержимое страницы)
Строка 1: Строка 1:
 +
= Умножение плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариант) =
  
 +
== Свойства и структура алгоритма ==
 +
 +
=== Общее описание алгоритма ===
 +
 +
'''Умножение матрицы на вектор''' - одна из базовых задач в алгоритмах линейной алгебры, широко применяется в большом количестве разных методов.
 +
Здесь мы рассмотрим умножение <math>y = Ax</math> плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариант)<ref>В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.</ref>, то есть тот вариант, где никак не используются ни специальный вид матрицы, ни ассоциативные свойства операции сложения.
 +
 +
=== Математическое описание алгоритма ===
 +
 +
Исходные данные: плотная матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>), умножаемый на неё вектор <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).
 +
 +
Вычисляемые данные: вектор решения <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).
 +
 +
Формулы метода:
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}, \quad i \in [1, m].
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
 +
Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.
 +
 +
=== Вычислительное ядро алгоритма ===
 +
 +
Вычислительное ядро умножения матрицы на вектор можно составить из множественных (всего их <math>m</math>) вычислений скалярных произведений строк матрицы <math>A</math> вектор <math>x</math>:
 +
 +
:<math> \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math>
 +
 +
в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи.
 +
 +
=== Макроструктура алгоритма ===
 +
 +
Как уже записано в [[#Вычислительное ядро алгоритма|описании ядра алгоритма]], основную часть умножения матрицы на вектор составляют множественные (всего <math>m</math>) вычисления скалярных произведений строк матрицы <math>A</math> вектор <math>x</math>
 +
 +
:<math> \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math>
 +
 +
в режиме накопления или без него.
 +
 +
=== Схема реализации последовательного алгоритма ===
 +
 +
Для всех <math>i</math> от <math>1</math> до <math>m</math> по возрастанию выполняются
 +
 +
:<math>y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math>
 +
 +
Особо отметим, что вычисления сумм вида <math>\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}</math> производят в режиме накопления прибавлением к текущему (временному) значению вычисляемой компоненты вектора <math>y_{i}</math> произведений <math>a_{ij} x_{j}</math> для <math>j</math> от <math>1</math> до <math>n</math>, '''c возрастанием''' <math>j</math>, вначале все компоненты инициализируются нулями. При суммировании "по убыванию" общая схема принципиально не отличается и потому нами не рассматривается. Другие порядки выполнения суммирования приводят к изменению параллельных свойств алгоритма и будут рассматриваться нами в отдельных описаниях.
 +
 +
=== Последовательная сложность алгоритма ===
 +
 +
Для умножения квадратной матрицы на вектор порядка <math>n</math> (т.е. при <math>m=n</math>) в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
 +
 +
* по <math>n^2</math> умножений и сложений.
 +
 +
Для умножения матрицы размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов на вектор порядка <math>n</math> в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
 +
 +
* по <math>mn</math> умножений и сложений.
 +
 +
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает затраты во времени, требуемом для выполнения умножения матрицы на вектор.
 +
 +
При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам ''с квадратической сложностью'' (в случае неквадратной матрицы - с ''билинейной'').
 +
 +
=== Информационный граф ===
 +
 +
Опишем [[глоссарий#Граф алгоритма|граф алгоритма]] как аналитически, так и в виде рисунка.
 +
 +
[[Файл:YeqAX.png|500px|thumb|center|Рисунок 1. Граф последовательного умножения плотной матрицы на вектор с отображением входных и выходных данных]]
 +
 +
Граф алгоритма умножения плотной матрицы на вектор состоит из одной группы вершин, расположенной в целочисленных узлах двумерной области, соответствующая ей операция  <math>a+bc</math>.
 +
 +
Естественно введённые координаты области таковы:
 +
* <math>i</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>m</math>, принимая все целочисленные значения;
 +
* <math>j</math> — меняется в диапазоне от <math>1</math> до <math>n</math>, принимая все целочисленные значения.
 +
 +
Аргументы операции следующие:
 +
*<math>a</math>:
 +
** при <math>j = 1</math> константа <math>0.</math>;
 +
** при <math>j > 1</math> — результат срабатывания операции, соответствующей вершине с координатами <math>i, j-1</math>;
 +
*<math>b</math> — элемент ''входных данных'', а именно  <math>a_{ij}</math>;
 +
*<math>c</math> - элемент входных данных <math>x_{j}</math>;
 +
 +
Результат срабатывания операции является:
 +
* при <math>j < n</math> - ''промежуточным данным'' алгоритма;
 +
* при <math>j = n</math> - выходным данным.
 +
 +
Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая <math>m = 4, n = 5</math>. Здесь вершины обозначены голубым цветом. Изображена подача только входных данных из вектора <math>x</math>, подача элементов матрицы <math>A</math>, идущая во все вершины, на рисунке не представлена.
 +
 +
=== Ресурс параллелизма алгоритма ===
 +
 +
Для алгоритма умножения квадратной матрицы на вектор порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:
 +
 +
* по <math>n</math> ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — <math>n</math> операций).
 +
 +
Для умножения матрицы размером <math>m</math> строк на <math>n</math> столбцов на вектор порядка <math>n</math> в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:
 +
 +
* по <math>n</math> ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — <math>m</math> операций).
 +
 +
При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.
 +
 +
При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам ''с линейной сложностью''. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет ''линейной''.
 +
 +
=== Входные и выходные данные алгоритма ===
 +
 +
'''Входные данные''': матрица <math>A</math> (элементы <math>a_{ij}</math>), вектор <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>).
 +
 +
'''Объём входных данных''': <math>mn+n</math> .
 +
 +
'''Выходные данные''': вектор <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>).
 +
 +
'''Объём выходных данных''': <math>m</math>.
 +
 +
=== Свойства алгоритма ===
 +
 +
Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является ''линейным'' (отношение квадратической или билинейной к линейной).
 +
 +
При этом вычислительная мощность алгоритма умножения матрицы на вектор, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь ''константа''.
 +
 +
При этом алгоритм умножения матрицы на вектор полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается.
 +
 +
== Литература ==
 +
<references />

Версия 11:19, 17 сентября 2015

1 Умножение плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариант)

1.1 Свойства и структура алгоритма

1.1.1 Общее описание алгоритма

Умножение матрицы на вектор - одна из базовых задач в алгоритмах линейной алгебры, широко применяется в большом количестве разных методов. Здесь мы рассмотрим умножение [math]y = Ax[/math] плотной неособенной матрицы на вектор (последовательный вещественный вариант)[1], то есть тот вариант, где никак не используются ни специальный вид матрицы, ни ассоциативные свойства операции сложения.

1.1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: плотная матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]), умножаемый на неё вектор [math]x[/math] (элементы [math]x_{i}[/math]).

Вычисляемые данные: вектор решения [math]y[/math] (элементы [math]y_{i}[/math]).

Формулы метода:

[math] \begin{align} y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}, \quad i \in [1, m]. \end{align} [/math]

Существует также блочная версия метода, однако в данном описании разобран только точечный метод.

1.1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро умножения матрицы на вектор можно составить из множественных (всего их [math]m[/math]) вычислений скалярных произведений строк матрицы [math]A[/math] вектор [math]x[/math]:

[math] \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}[/math]

в режиме накопления или без него, в зависимости от требований задачи.

1.1.4 Макроструктура алгоритма

Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть умножения матрицы на вектор составляют множественные (всего [math]m[/math]) вычисления скалярных произведений строк матрицы [math]A[/math] вектор [math]x[/math]

[math] \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}[/math]

в режиме накопления или без него.

1.1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Для всех [math]i[/math] от [math]1[/math] до [math]m[/math] по возрастанию выполняются

[math]y_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}[/math]

Особо отметим, что вычисления сумм вида [math]\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}[/math] производят в режиме накопления прибавлением к текущему (временному) значению вычисляемой компоненты вектора [math]y_{i}[/math] произведений [math]a_{ij} x_{j}[/math] для [math]j[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math], c возрастанием [math]j[/math], вначале все компоненты инициализируются нулями. При суммировании "по убыванию" общая схема принципиально не отличается и потому нами не рассматривается. Другие порядки выполнения суммирования приводят к изменению параллельных свойств алгоритма и будут рассматриваться нами в отдельных описаниях.

1.1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для умножения квадратной матрицы на вектор порядка [math]n[/math] (т.е. при [math]m=n[/math]) в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

  • по [math]n^2[/math] умножений и сложений.

Для умножения матрицы размером [math]m[/math] строк на [math]n[/math] столбцов на вектор порядка [math]n[/math] в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

  • по [math]mn[/math] умножений и сложений.

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности (или использования функции вроде DPROD в Фортране), что ещё больше увеличивает затраты во времени, требуемом для выполнения умножения матрицы на вектор.

При классификации по последовательной сложности, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам с квадратической сложностью (в случае неквадратной матрицы - с билинейной).

1.1.7 Информационный граф

Опишем граф алгоритма как аналитически, так и в виде рисунка.

Рисунок 1. Граф последовательного умножения плотной матрицы на вектор с отображением входных и выходных данных

Граф алгоритма умножения плотной матрицы на вектор состоит из одной группы вершин, расположенной в целочисленных узлах двумерной области, соответствующая ей операция [math]a+bc[/math].

Естественно введённые координаты области таковы:

  • [math]i[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]m[/math], принимая все целочисленные значения;
  • [math]j[/math] — меняется в диапазоне от [math]1[/math] до [math]n[/math], принимая все целочисленные значения.

Аргументы операции следующие:

  • [math]a[/math]:
    • при [math]j = 1[/math] константа [math]0.[/math];
    • при [math]j \gt 1[/math] — результат срабатывания операции, соответствующей вершине с координатами [math]i, j-1[/math];
  • [math]b[/math] — элемент входных данных, а именно [math]a_{ij}[/math];
  • [math]c[/math] - элемент входных данных [math]x_{j}[/math];

Результат срабатывания операции является:

  • при [math]j \lt n[/math] - промежуточным данным алгоритма;
  • при [math]j = n[/math] - выходным данным.

Описанный граф можно посмотреть на рисунке, выполненном для случая [math]m = 4, n = 5[/math]. Здесь вершины обозначены голубым цветом. Изображена подача только входных данных из вектора [math]x[/math], подача элементов матрицы [math]A[/math], идущая во все вершины, на рисунке не представлена.

1.1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Для алгоритма умножения квадратной матрицы на вектор порядка n в параллельном варианте требуется последовательно выполнить следующие ярусы:

  • по [math]n[/math] ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — [math]n[/math] операций).

Для умножения матрицы размером [math]m[/math] строк на [math]n[/math] столбцов на вектор порядка [math]n[/math] в последовательном (наиболее быстром) варианте требуется:

  • по [math]n[/math] ярусов умножений и сложений (в каждом из ярусов — [math]m[/math] операций).

При этом использование режима накопления требует совершения умножений и сложений в режиме двойной точности, а в параллельном варианте это означает, что практически все промежуточные вычисления для выполнения алгоритма в режиме накопления должны быть двойной точности. В отличие от последовательного варианта это означает некоторое увеличение требуемой памяти.

При классификации по высоте ЯПФ, таким образом, алгоритм умножения матрицы на вектор относится к алгоритмам с линейной сложностью. При классификации по ширине ЯПФ его сложность также будет линейной.

1.1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: матрица [math]A[/math] (элементы [math]a_{ij}[/math]), вектор [math]x[/math] (элементы [math]x_{i}[/math]).

Объём входных данных: [math]mn+n[/math] .

Выходные данные: вектор [math]y[/math] (элементы [math]y_{i}[/math]).

Объём выходных данных: [math]m[/math].

1.1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности в случае неограниченных ресурсов, как хорошо видно, является линейным (отношение квадратической или билинейной к линейной).

При этом вычислительная мощность алгоритма умножения матрицы на вектор, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – всего лишь константа.

При этом алгоритм умножения матрицы на вектор полностью детерминирован. Использование другого порядка выполнения ассоциативных операций в данной версии нами не рассматривается.

1.2 Литература

  1. ↑ В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Приложение_10&oldid=2553