Участник:Mansur/Алгоритм K-means++: различия между версиями

Версия 23:05, 30 октября 2023

Содержание

1 Свойства и структура алгоритмов
2 Программная реализация алгоритма
3 Литература

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

k-means++^[1] — улучшенная версия алгоритма кластеризации k-means. Суть улучшения заключается в нахождении более «хороших» начальных значений центроидов кластеров. Задача k-means состоит в том, чтобы найти центры кластеров, которые минимизируют внутриклассовую дисперсию, т.е. сумму квадратов расстояний от каждой кластеризуемой точки данных до ее центра кластера (центра, который находится ближе всего к ней). Хотя найти точное решение задачи о k-средних для произвольных входных данных NP-сложно, ^[2] стандартный подход к нахождению приближенного решения широко используется и часто быстро находит разумные решения.

Однако алгоритм k-средних имеет, по крайней мере, два основных теоретических недостатка:

Во-первых, было показано, что наихудшее время выполнения алгоритма является супер-полиномиальным по размеру входных данных.^[3] Во-вторых, найденное приближение может быть сколь угодно плохим по отношению к целевой функции по сравнению с оптимальной кластеризацией.

1.2 Математическое описание алгоритма

Случайным образом выбрать первый центроид из точек данных.
Для каждой точки данных x вычислить ее расстояние D(x) от ближайшего, ранее выбранного центроида.
Выбрать следующий центроид из точек данных таким образом, чтобы вероятность выбора точки в качестве центроида была прямо пропорциональна квадрату ее расстоянию D²(x) от ближайшего, ранее выбранного центроида. (т.е. точка, имеющая максимальное расстояние от ближайшего центроида, с наибольшей вероятностью будет выбрана следующей в качестве центроида)
Повторять шаги 2 и 3 до тех пор, пока не будут отобраны k центроидов.

Теперь, когда начальные центроиды выбраны, нужно использовать стандартную кластеризацию k-means:

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

↑ Arthur, D.; Vassilvitskii, S. (2007). "k-means++: the advantages of careful seeding" (PDF). Proceedings of the eighteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA. pp. 1027–1035.
↑ Drineas, P.; Frieze, A.; Kannan, R.; Vempala, S.; Vinay, V. (2004). "Clustering Large Graphs via the Singular Value Decomposition". Machine Learning. 56 (1–3): 9–33. doi:10.1023/B:MACH.0000033113.59016.96
↑ Arthur, D.; Vassilvitskii, S. (2006). "How slow is the k-means method?". Proceedings of the twenty-second annual symposium on Computational geometry. ACM New York, NY, USA. pp. 144–153.

Arthur, D.; Vassilvitskii, S. (2007). "k-means++: the advantages of careful seeding" (PDF). Proceedings of the eighteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA. pp. 1027–1035.

[1] Arthur, D.; Vassilvitskii, S. (2007). "k-means++: the advantages of careful seeding" (PDF). Proceedings of the eighteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA. pp. 1027–1035.

[2] Drineas, P.; Frieze, A.; Kannan, R.; Vempala, S.; Vinay, V. (2004). "Clustering Large Graphs via the Singular Value Decomposition". Machine Learning. 56 (1–3): 9–33. doi:10.1023/B:MACH.0000033113.59016.96

[3] Arthur, D.; Vassilvitskii, S. (2006). "How slow is the k-means method?". Proceedings of the twenty-second annual symposium on Computational geometry. ACM New York, NY, USA. pp. 144–153.

[1]

[2]

[3]

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 === Математическое описание алгоритма ===
-# Случайным образом выберите первый центроид из точек данных.
+# Случайным образом выбрать первый центроид из точек данных.
-# Для каждой точки данных вычислите ее расстояние от ближайшего, ранее выбранного центроида.
+# Для каждой точки данных x вычислить ее расстояние D(x) от ближайшего, ранее выбранного центроида.
-# Выбрать следующий центроид из точек данных таким образом, чтобы вероятность выбора точки в качестве центроида была прямо пропорциональна ее расстоянию от ближайшего, ранее выбранного центроида. (т.е. точка, имеющая максимальное расстояние от ближайшего центроида, с наибольшей вероятностью будет выбрана следующей в качестве центроида)
+# Выбрать следующий центроид из точек данных таким образом, чтобы вероятность выбора точки в качестве центроида была прямо пропорциональна квадрату ее расстоянию D²(x) от ближайшего, ранее выбранного центроида. (т.е. точка, имеющая максимальное расстояние от ближайшего центроида, с наибольшей вероятностью будет выбрана следующей в качестве центроида)
 # Повторять шаги 2 и 3 до тех пор, пока не будут отобраны k центроидов.
+Теперь, когда начальные центроиды выбраны, нужно использовать стандартную кластеризацию k-means:
 === Вычислительное ядро алгоритма ===