Обратная подстановка (вещественный вариант): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Frolov (обсуждение | вклад) |
Frolov (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
=== Словесное описание алгоритма === | === Словесное описание алгоритма === | ||
| − | '''Обратный ход метода Гаусса''' - решение СЛАУ с правой треугольной матрицей <math>U</math>. Матрица <math>U</math> - одна из составляющих матрицы <math>A</math> и получается либо из <math>LU</math>-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, [[Метод Холецкого (квадратного корня), точечный вещественный вариант|разложение Холецкого]] и др.), либо из других разложений. В силу треугольности <math>U</math> решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами. | + | '''Обратный ход метода Гаусса''' - решение СЛАУ <math>Ux = y</math> с правой треугольной матрицей <math>U</math>. Матрица <math>U</math> - одна из составляющих матрицы <math>A</math> и получается либо из <math>LU</math>-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, [[Метод Холецкого (квадратного корня), точечный вещественный вариант|разложение Холецкого]] и др.), либо из других разложений. В силу треугольности <math>U</math> решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами. |
=== Математическое описание === | === Математическое описание === | ||
| + | |||
| + | Исходные данные: правая треугольная матрица <math>U</math> (элементы <math>u_{ij}</math>), вектор правой части <math>y</math> (элементы <math>y_{i}</math>). | ||
| + | |||
| + | Вычисляемые данные: вектор решения <math>x</math> (элементы <math>x_{i}</math>). | ||
| + | |||
| + | Формулы метода: | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | x_{n} & = \frac{y_{n}{u_{nn}} \\ | ||
| + | l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ | ||
| + | l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ | ||
| + | l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. | ||
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
Версия 09:56, 11 сентября 2014
1 Описание свойств и структуры алгоритма
1.1 Словесное описание алгоритма
Обратный ход метода Гаусса - решение СЛАУ [math]Ux = y[/math] с правой треугольной матрицей [math]U[/math]. Матрица [math]U[/math] - одна из составляющих матрицы [math]A[/math] и получается либо из [math]LU[/math]-разложения последней каким-либо из многочисленных способов (например, простое разложение Гаусса, разложение Гаусса с выбором ведущего элемента, компактная схема Гаусса, разложение Холецкого и др.), либо из других разложений. В силу треугольности [math]U[/math] решение СЛАУ является одной из модификаций общего метода подстановки и записывается простыми формулами.
1.2 Математическое описание
Исходные данные: правая треугольная матрица [math]U[/math] (элементы [math]u_{ij}[/math]), вектор правой части [math]y[/math] (элементы [math]y_{i}[/math]).
Вычисляемые данные: вектор решения [math]x[/math] (элементы [math]x_{i}[/math]).
Формулы метода:
- [math] \begin{align} x_{n} & = \frac{y_{n}{u_{nn}} \\ l_{j1} & = \frac{a_{j1}}{l_{11}}, \quad j \in [2, n], \\ l_{ii} & = \sqrt{a_{ii} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip}^2}, \quad i \in [2, n], \\ l_{ji} & = \left (a_{ji} - \sum_{p = 1}^{i - 1} l_{ip} l_{jp} \right ) / l_{ii}, \quad i \in [2, n - 1], j \in [i + 1, n]. \end{align} [/math]
