Полный метод циклической редукции

Циклическая редукция для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n)$
Объём входных данных	$4n-2$
Объём выходных данных	$n$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(log n)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n)$

Основные авторы описания: А.В.Фролов.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Циклическая редукция - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ вида $Ax = b$, где

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$

Часто, однако, при изложении сути методов решения трёхдиагональных СЛАУ элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид ($N=n-1$)

$A = \begin{bmatrix} c_{0} & -b_{0} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -a_{1} & c_{1} & -b_{1} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & -a_{2} & c_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & -a_{N-1} & c_{N-1} & -b_{N-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_{N} & c_{N} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_{0} \\ y_{1} \\ \vdots \\ y_{N} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{0} \\ f_{1} \\ \vdots \\ f_{N} \\ \end{bmatrix}$

или, если записывать отдельно по уравнениям, то

$c_{0} y_{0} - b_{0} y_{1} = f_{0}$,

$-a_{i} y_{i-1} + c_{i} y_{i} - b_{i} y_{i+1} = f_{i}, 1 \le i \le N-1$,

$-a_{N} y_{N-1} + c_{N} y_{N} = f_{N}$.

Циклическая редукция, как и все варианты прогонки, заключается в исключении из уравнений неизвестных, однако, в отличие от них, в ней исключение ведут одновременно по всей СЛАУ. В принципе, её можно считать вариантом метода редукции, выполняемого максимально возможное для данной СЛАУ число раз.

Рисунок 1. Граф алгоритма циклической редукции при n=15.