Версия 23:42, 18 сентября 2016

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n^3)[/math]
Объём входных данных	[math][/math]
Объём выходных данных	[math][/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: [math]k[/math] векторов [math]\mathb{a_1},\mathb{a_2},...,\mathb{a_n}[/math] длины [math]n[/math] ([math]\alpha_{ij}[/math], [math]j=1,2,...,n[/math], — координаты вектора [math]\mathb{a_i}[/math] ).

Вычисляемые данные:

[math]k[/math] ортогональных векторов [math]b_1,b_2,...,b_n[/math] длины [math]n[/math], причем [math]b_1=a_1[/math] либо

[math]k[/math] ортонормированных векторов [math]e_1,e_2,...,e_n[/math] длины [math]n[/math], причем [math]e_1=\frac{a_1}{|a_1|}[/math]

Формулы процесса ортогонализации:

[math] \begin{align} \mathb{b_{1}} & =\mathb{a_{1}}, \\ \mathb{b_{2}}& =\mathb{a_{2}}-proj_{\mathb{b_1}}\mathb{a_{1}}, \\ & ...\\ \mathb{b_{i}} & = \mathb{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathb{b_j}}\mathb{a_{j}},\\ & ...\\ \mathb{b_{n}} & =\mathb{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathb{b_j}}\mathb{a_{j}},\\ \end{align} [/math]

Здесь [math]proj_{\mathb{b_j}}\mathb{a_{j}}[/math], для [math]j=1,...,n-1[/math] проекция вектора math>\mathb{a_{j}}</math> на направление вектора math>\mathb{b_{j}}</math>.

Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

[math] \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} [/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

1.10 Свойства алгоритма

2 ЧАСТЬ Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

[1] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Процесс_Грама_―_Шмидта – Электрон. дан. – URL [1] (дата обращения 18.09.2016)

@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 == Математическое описание алгоритма ==
-Исходные данные: <math>k</math> векторов <math>\mathbf{a_1},a_2,...,a_n</math> длины <math>n</math> (<math>\alpha_{ij}</math>, <math>j=1,2,...,n</math>,  — координаты вектора <math>a_i</math> ).
+Исходные данные: <math>k</math> векторов <math>\mathb{a_1},\mathb{a_2},...,\mathb{a_n}</math> длины <math>n</math> (<math>\alpha_{ij}</math>, <math>j=1,2,...,n</math>,  — координаты вектора <math>\mathb{a_i}</math> ).
 Вычисляемые данные:
@@ Строка 28: / Строка 28: @@
 :<math>
 \begin{align}
-b_{1} & =a_{1}, \\
+\mathb{b_{1}} & =\mathb{a_{1}}, \\
-b_{2}& =a_{2}-proj_{b_1}a_{1}, \\
+\mathb{b_{2}}& =\mathb{a_{2}}-proj_{\mathb{b_1}}\mathb{a_{1}}, \\
 & ...\\
-b_{i} & = a_{i}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{b_j}a_{j},\\
+\mathb{b_{i}} & = \mathb{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathb{b_j}}\mathb{a_{j}},\\
 & ...\\
-b_{n} & = a_{n}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{b_j}a_{j},\\
+\mathb{b_{n}} & =\mathb{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathb{b_j}}\mathb{a_{j}},\\
 \end{align}
 </math>
-Здесь <math>proj_{b_j}a_{j}</math>, для <math>j=1,...,n-1</math>  проекция вектора math>a_{j}</math> на направление вектора math>b_{j}</math>.
+Здесь <math>proj_{\mathb{b_j}}\mathb{a_{j}}</math>, для <math>j=1,...,n-1</math>  проекция вектора math>\mathb{a_{j}}</math> на направление вектора math>\mathb{b_{j}}</math>.
 Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта: различия между версиями