Участник:Смирнова Александра/Нахождение собственных чисел квадратной матрицы методом QR разложения (3): различия между версиями
| Строка 25: | Строка 25: | ||
Суть QR-алгоритма заключается в приведении матрицы <math>A</math> к некоторой подобной ей матрице <math>A_N</math> при помощи итерационного алгоритма. Матрица <math>A_N</math> является правой квазитреугольной матрицей, на диагонали которой расположены блоки 1-го и/или 2-го порядка. Блоки первого порядка содержат различные вещественные значения матрицы <math>A_N</math>, блоки второго порядка соответствуют двум комплексным сопряженным собственным значениям. | Суть QR-алгоритма заключается в приведении матрицы <math>A</math> к некоторой подобной ей матрице <math>A_N</math> при помощи итерационного алгоритма. Матрица <math>A_N</math> является правой квазитреугольной матрицей, на диагонали которой расположены блоки 1-го и/или 2-го порядка. Блоки первого порядка содержат различные вещественные значения матрицы <math>A_N</math>, блоки второго порядка соответствуют двум комплексным сопряженным собственным значениям. | ||
| + | |||
| + | <math>A_N= | ||
| + | \begin{bmatrix} | ||
| + | \blacksquare& \bullet& \bullet& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \bullet\\ | ||
| + | 0& \blacksquare& \blacksquare& \bullet& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \vdots\\ | ||
| + | 0& \blacksquare& \blacksquare& \bullet& \bullet& \ddots& \ddots& \ddots& \vdots\\ | ||
| + | \vdots& 0& 0& \blacksquare& \bullet& \bullet& \ddots& \ddots& \vdots\\ | ||
| + | \vdots& \ddots& 0& 0& \blacksquare& \bullet& \bullet& \ddots& \vdots\\ | ||
| + | \vdots& \ddots& \ddots& 0& 0& \blacksquare& \blacksquare& \ddots& \vdots\\ | ||
| + | \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& 0& \blacksquare& \blacksquare& \ddots& \bullet\\ | ||
| + | \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \bullet\\ | ||
| + | 0& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& 0& 0& \blacksquare | ||
| + | \end{bmatrix}</math> | ||
| + | |||
В силу подобия матриц <math>A</math> и <math>A_N</math> их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы <math>A</math> сводится к задаче выведения матрицы <math>A_N</math> и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей. | В силу подобия матриц <math>A</math> и <math>A_N</math> их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы <math>A</math> сводится к задаче выведения матрицы <math>A_N</math> и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей. | ||
Версия 22:38, 8 октября 2016
| Нахождение собственных чисел квадратной матрицы методом QR разложения | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | - |
| Объём входных данных | [math] n^2 [/math] |
| Объём выходных данных | [math] n [/math] |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | - |
| Ширина ярусно-параллельной формы | - |
Основные авторы описания: Смирнова А.С., Киямова А.
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
QR-алгоритм — это численный метод в линейной алгебре, предназначенный для решения полной проблемы собственных значений, то есть отыскания всех собственных чисел и собственных векторов матрицы. Был разработан в конце 1950-х годов независимо В. Н. Кублановской и Дж. Фрэнсисом.
1.1.1 Собственные значения
Задача нахождения собственных значений и собственных векторов для матрицы [math]A[/math] заключается в поиске таких чисел [math]\lambda[/math], которые удовлетворяют уравнению:
[math]Ax=\lambda x[/math]
При этом, числа [math]\lambda[/math] называются собственными значениями, а вектора [math]x[/math] - собственными векторами
1.1.2 Описание алгоритма
Суть QR-алгоритма заключается в приведении матрицы [math]A[/math] к некоторой подобной ей матрице [math]A_N[/math] при помощи итерационного алгоритма. Матрица [math]A_N[/math] является правой квазитреугольной матрицей, на диагонали которой расположены блоки 1-го и/или 2-го порядка. Блоки первого порядка содержат различные вещественные значения матрицы [math]A_N[/math], блоки второго порядка соответствуют двум комплексным сопряженным собственным значениям.
[math]A_N= \begin{bmatrix} \blacksquare& \bullet& \bullet& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \bullet\\ 0& \blacksquare& \blacksquare& \bullet& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \vdots\\ 0& \blacksquare& \blacksquare& \bullet& \bullet& \ddots& \ddots& \ddots& \vdots\\ \vdots& 0& 0& \blacksquare& \bullet& \bullet& \ddots& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& 0& 0& \blacksquare& \bullet& \bullet& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& 0& 0& \blacksquare& \blacksquare& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& 0& \blacksquare& \blacksquare& \ddots& \bullet\\ \vdots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \ddots& \bullet\\ 0& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& \cdots& 0& 0& \blacksquare \end{bmatrix}[/math]
В силу подобия матриц [math]A[/math] и [math]A_N[/math] их наборы собственных значений совпадают. Таким образом задача поиска собственных значений матрицы [math]A[/math] сводится к задаче выведения матрицы [math]A_N[/math] и поиска собственных значений для нее, что является тривиальной задачей.
1.1.3 Применимость алгоритма
1.2 Математическое описание алгоритма
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
1.4 Макроструктура алгоритма
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
1.6 Последовательная сложность алгоритма
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
Входные данные: квадратная вещественная плотная матрица [math]A[/math]: [math]A \in \R^{n \times n}[/math]
Объем входных данных: [math]n^2[/math] (необходимо хранить все элементы матрицы)
Выходные данные: собственные значения матрицы [math]A[/math]
Объем выходных данных: [math]n[/math] (квадратная матрица размера [math]n \times n[/math] имеет ровно [math]n[/math] собственных значений при этом некоторые из них могут быть комплексными)
