Участник:Филимонова Юлия/Решение начальной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка: различия между версиями
Jul305a (обсуждение | вклад) |
Jul305a (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
| pf_height = ? | | pf_height = ? | ||
| pf_width = ? | | pf_width = ? | ||
| − | | input_data = | + | | input_data = n + 3 |
| − | | output_data = | + | | output_data = n m + m |
}} | }} | ||
Версия 13:11, 13 октября 2016
| Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта | |
| Последовательный алгоритм | |
| Последовательная сложность | ? |
| Объём входных данных | n + 3 |
| Объём выходных данных | n m + m |
| Параллельный алгоритм | |
| Высота ярусно-параллельной формы | ? |
| Ширина ярусно-параллельной формы | ? |
Основные авторы описания: Филимонова Юлия
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Методы Рунге-Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге-Кутта) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.
Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге-Кутты, опуская порядок.
1.2 Математическое описание алгоритма
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (далее [math]\mathbf{x}, \mathbf{f}, \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^n[/math], а [math]t, h \in \mathbb{R}[/math])
[math]\dot{x} = f(t, x),\ x(t_0) = x_0,\ t \geqslant t_0.[/math]
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле
в четыре стадии:
