Участник:Филимонова Юлия/Решение начальной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка

Решение задачи Коши для системы ОДУ методом Рунге-Кутта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	8mn
Объём входных данных	n + 3
Объём выходных данных	m(n + 1)
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	?
Ширина ярусно-параллельной формы	?

Основные авторы описания: Филимонова Юлия

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Методы Рунге-Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге-Кутта) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге-Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге-Кутты, опуская порядок.

1.2 Математическое описание алгоритма

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений размерности [math]n[/math]

[math]\dot{x} = f(t, x),\ t_0 \leqslant t \leqslant t_1,\ x(t_0) = x_0.[/math]

Здесь [math]x(t), x_0 \in \mathbb{R}^n,\ t, t_0, t_1 \in \mathbb{R}, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n[/math].

Введем равномерную сетку

[math]t_i = t_0 + ih,\ i = \overline{1, n},\ h = \frac{t_1 - t_0}{m},[/math]

[math]x(t_i) = x_i.[/math]

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле

[math]x_{i+1} = x_i + \frac{h}{6} (K_1 + 2 K_2 + 2 K_3 + K_4).[/math]

Вычисление нового значения происходит в четыре стадии:

[math]K_1 = f (t_i, x_i),[/math]

[math]K_2 = f (t_i + \frac{h}{2}, x_i + \frac{h}{2} K_1),[/math]

[math]K_3 = f (t_i + \frac{h}{2}, x_i + \frac{h}{2} K_2),[/math]

[math]K_4 = f (t_i + h, x_i + h K_3).[/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

В описанной выше вычислительной схеме наиболее трудоемкой является операция умножения матрицы на вектор при вычислении [math]K_i[/math], следовательно вычислительным ядром является их последовательное вычисление.

1.4 Макроструктура алгоритма

Макроструктура алгоритма представлена одним шагом итерационного процесса, описанного в пункте 1.2. Основной макрооперацией алгоритма является операция умножения матрицы на вектор, и основное внимание будет уделено распараллеливанию этой операции.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Приведем здесь псевдокод

начало;

ввод начальных параметров ([math]x_0, t_0, t_1, m[/math]);

цикл по числу узлов сетки: [math]i = \overline{1,m-1}[/math]

цикл по числу стадий: [math]j = \overline{1,4}[/math]

цикл по числу компонент вектора [math]x:\ k = \overline{1,n}[/math]

вычисление коэффициентов [math]K_{j, k}^{i}[/math];

конец цикла по [math]k[/math];

конец цикла по [math]j[/math];

цикл по числу компонент вектора [math]x:\ k = \overline{1,n}[/math]

вычисление [math]y_{j}^{i+1}[/math];

конец цикла по [math]k[/math];

цикл по числу компонент вектора [math]x:\ k = \overline{1,n}[/math]

сохранение [math]y_{j}^{i} = y_{j}^{i+1}[/math];

конец цикла по [math]k[/math];

вывод [math]y^{i+1}[/math];

конец цикла по [math]n[/math];

конец;

1.6 Последовательная сложность алгоритма

В данном алгоритме производится четыре операции умножения матрицы на вектор (порядка [math]2 n m[/math] арифметических операций) и четырнадцать операций сложения векторов и умножения вектора на число (порядка [math]n[/math] арифметических операций). Поскольку операция умножения матрицы на вектор является более сложной, то сложность последовательного алгоритма можно считать равной [math]8 n m[/math].

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

На вход алгоритма подаются следующие данные:

1. вектор начальных значений [math]x_0[/math] размерности [math]n[/math];
2. границы временного интервала [math]t_0, t_1[/math];
3. частота дискретизации [math]n[/math].

Общий размер входных данных [math]n + 3[/math].

На выходе получаются следующие данные:

1. вектор времени [math]t[/math] размерности [math]m[/math];
2. матрица значений [math]x[/math] ([math]m[/math] векторов длины [math]n[/math]) размерности [math]m n[/math].

Общий размер выходных данных [math]m + m n[/math].