Версия 17:26, 13 октября 2016

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O\left(n^3\right)[/math]
Объём входных данных	[math][/math]
Объём выходных данных	[math][/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math][/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math][/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева,.

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

1.2 Математическое описание алгоритма

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Анализ математических формул процесса ортогонализации Грама-Шмидта показывает, что алгоритм имеет три вычислительных ядра:

вычисления скалярного произведения (к этой операции сводится вычисление длины вектора)
умножения вектора на число
сложения векторов.

Эти операции выполняются за время порядка [math]O\left(n\right)[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

[math] \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} [/math]

1.6 Вычислительное ядро алгоритма

Анализ математических формул процесса ортогонализации Грама-Шмидта показывает, что алгоритм имеет три вычислительных ядра:

вычисления скалярного произведения (к этой операции сводится вычисление длины вектора)
умножения вектора на число
сложения векторов.

Эти операции выполняются за время порядка [math]O\left(n\right)[/math]

1.7 Макроструктура алгоритма

1.8 Схема реализации последовательного алгоритма

[math] \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} [/math]

1.9 Вычислительное ядро алгоритма

1.10 Последовательная сложность алгоритма

1.11 Информационный граф

1.12 Ресурс параллелизма алгоритма

1.13 Входные и выходные данные алгоритма

1.14 Свойства алгоритма

2 ЧАСТЬ Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.2 Локальность данных и вычислений

2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

2.6 Выводы для классов архитектур

2.7 Существующие реализации алгоритма

3 Литература

@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 == Математическое описание алгоритма ==
-Исходные данные: <math>n</math> векторов <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\ldots,\mathbf{a_n}</math> длины <math>n</math> <math>\left(\alpha_{ij}\right.</math>, <math>j=1,2, \ldots,n</math>, — координаты вектора <math>\left.\mathbf{a_i}\right)</math> .
-Вычисляемые данные:
-<math>n</math> ортогональных векторов <math>\mathbf{b_1},\mathbf{b_2},...,\mathbf{b_n}</math> длины <math>n</math>, причем <math>\mathbf{b_1}=\mathbf{a_1}</math> либо
-<math>n</math> ортонормированных векторов <math>\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\ldots,\mathbf{e_n}</math> длины <math>n</math>, причем <math>\mathbf{e_1}=\frac{\mathbf{a_1}}{|\mathbf{a_1}|}</math>
-Формулы процесса ортогонализации:
-:<math>
-\begin{align}
-\mathbf{b_{1}} & =\mathbf{a_{1}}, \\
-\mathbf{b_{2}}& =\mathbf{a_{2}}-proj_{\mathbf{b_1}}\mathbf{a_{1}}, \\
-& ...\\
-\mathbf{b_{{i} }} & = \mathbf{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}},\\
-& ...\\
-\mathbf{b_{n}} & =\mathbf{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{n}},\\
-\end{align}
-</math>
-Здесь <math>proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}}</math>, для <math>j=1,...,i-1</math> — проекция вектора <math>\mathbf{a_{i}}</math> на направление вектора <math>\mathbf{b_{j}}</math>.
-Это число, равное по величине проекции вектора <math>\mathbf{a_{j}}</math>  на ось, проходящую через вектор  <math>\mathbf{b_j}</math>.
-Формула для ее вычисления, полученная из определения скалярного произведения:
-<math>proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{i}}=\dfrac{(ai,bj)}{\mathbf{\left \|b_j\right \|}}</math>, для <math>j=1,...,i-1</math>
-В этом случае знаменатель в формуле для вычисления проекции <math>|\mathbf{e_i}|=1</math> для <math>i=1,...,n-1</math>, что существенно упрощает вычисления алгоритма.
-Произведение длин <math>\mathbf{|b_1|},\mathbf{|b_2|},\ldots ,\mathbf{|b_n|}</math> равно объему параллелепипеда, построенного на векторах системы <math>\left\{\mathbf{a_i}\right\}</math>, <math>i=1,2,\ldots ,n</math>, как на ребрах
-Явное выражение векторов <math>\mathbf{b_i}</math> для <math>i=1,...,n</math>  через <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n}</math> дает  формула
-<math> \mathbf{b_i}=
-\begin{vmatrix}
-(a_1,a_1) & \cdots & (a_1,a_n-1) &a_1 \\
- \cdots & \cdots &  \cdots  &   \cdots \\
-(a_{i},a_1) & \cdots & (a_i,a_n-1) &a_i \\
- \cdots & \cdots & \cdots \\
-(a_{n},a_1) & \cdots & (a_n,a_n-1) &a_n
-\end{vmatrix}
-</math>
-(В правой части этого равенства определитель следует формально разложить по последнему столбцу).
-Иногда полученные векторы нормируются сразу после их нахождения и находится система ортонормированных векторов <math>\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\ldots,\mathbf{e_n}</math>. В этом случае знаменатель в формуле для вычисления проекции <math>|\mathbf{e_i}|=1</math> для <math>i=1,...,n-1</math>, что существенно упрощает вычисления алгоритма.
 == Вычислительное ядро алгоритма ==

Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта: различия между версиями