Участник:SKirill/Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений

Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
Последовательный алгоритм
Объём выходных данных	$n$-мерный вектор

Авторы: Шохин К.О., Лебедев А.А.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений является обобщением метода Ньютона решения нелинейных уравнений, который основан на идеи линеаризации. Пусть $F(x) : R^1 \to R^1$ - дифференцируемая функция и необходимо решить уравнение $F(x) = 0$.

Взяв некоторое $x_0$ в качестве начального приближения решения, мы можем построить линейную аппроксимацию

$F(x)$ в окрестности $x_0 : F(x_0+h) \approx F(x_0)+F^'(x_0)h$ и решить получающееся линейное уравнение $F(x_0 )+F^' (x_0 )h =0$.

Таким образом получаем итеративный метод : $x_{k+1} = x_k - {F^'(x_k)}^{-1}F(x_k) , k = 0,1,\ldots$

Данный метод был предложен Ньютоном в 1669 году. Более точно, Ньютон оперировал только с полиномами; в выражении для $F(x+h)$ он отбрасывал члены более высокого порядка по h , чем линейные. Ученик Ньютона Рафсон в 1690 г. предложил общую форму метода (т. е. не предполагалось что $F(x)$ обязательно полином и использовалось понятие производной), поэтому часто говорят о методе Ньютона—Рафсона. Дальнейшее развитие исследований связано с именами таких известных математиков, как Фурье, Коши и другие. Например, Фурье доказал в 1818 г., что метод сходится квадратично в окрестности корня, а Коши (1829, 1847) предложил многомерное обобщение метода и использовал метод для доказательства существования решения уравнения.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основная вычислительная нагрузка алгоритма заключается в решении СЛАУ:

$\frac{\partial F(x^{(k)})}{\partial x}\Delta x^{(k)} = -F(x^{(k)}) (*)$

Для нахождения значения $\Delta x^{(k)}$, по которому вычисляется значение вектора $\overline{x}$, на очередной итерации вычисляется значение: $x^{(k+1)} = x^{(k)} + \Delta x^{(k)}$

3 Литература

Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа — М., Академия, 2007. - 320 c.

Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков. Г. М. — 6-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 636 с.

<references \>