Быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ)

Авторы: Чачба А.Н., Костоев Р.С.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(N \log N)$
Объём входных данных	$N$
Объём выходных данных	$N$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(\log N)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(N)$

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Преобразование Фурье - взаимно однозначное отображение одной функции вещественной, называемой таргетным сигналом, с другой функцией вещественной переменной, называемой образом Фурье или спектром исходной функции по формуле:

$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx$

Дискретное преобразование Фурье, в свою очередь, если аналог непрерывного преобразования Фурье, но для дискретного сигнала содержащего $N$ отсчетов. Широко применяет в цифровой обработке сигналов, теории вероятностей, криптографии и акустике. Преобразование Фурье обратимо, причем обратное преобразование имеет практически ту же форму, что и прямое. Преобразование Фурье имеет сложность $O(N^2)$, но существует быстрый вариант преобразование Фурье со сложностью $O(N\log{N})$.

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть исходный сигнал имеет значения $x_n,\quad n = 0,\dots,N-1$, тогда дискретное прямое преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-\frac{2\pi i}{N}kn},\quad k = 0, \dots, N-1$

Обозначим $\varepsilon_{N} = e^{-\frac{2\pi i}{N}}$, тогда ДПФ можно перезаписать в матричной форме:

$\bar X = A\bar x$

где матрица $A = \{e^{-\frac{2\pi i}{N}(i - 1)(j - 1)}\}_{i,j=1}^{N}$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Пусть, для простоты $N = km$, тогда рекурсивная реализация преобразования Фурье, за счет $O(N{k})$ уровней рекурсии, имеет суммарную сложность $O(Nk + Nm + km) = O(N(k + m))$.

В случае, например $N = 2^n$ сложность БПФ составляет $O(N\log{N})$.

В общем же случае, когда $N = \prod_{i=1}^np_i$ сложность БПФ составляет $O(N(\sum_{i=1}^np_i))$.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Рекурсивный метод для случая $N = 2^k$, без оптимизации на C++:

#include <vector>
#include <complex>

using namespace std;

typedef complex<double> cd;
typedef vector<cd> vcd;

vcd fft(const vcd &as) { 
  int n = as.size();
  if (n == 1) return vcd(1, as[0]);

  vcd w(n); // Calculate roots
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    double alpha = 2 * M_PI * i / n;
    w[i] = cd(cos(alpha), sin(alpha));
  }

  vcd A(n / 2), B(n / 2);
  for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
    A[i] = as[i * 2];
    B[i] = as[i * 2 + 1];
  }
  vcd Av = fft(A);
  vcd Bv = fft(B);
  vcd res(n);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    res[i] =   Av[i % (n / 2)] +
        w[i] * Bv[i % (n / 2)];
  return res;
}

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф преобразования Кули-Тьюки для $N = km = 25, k = 5, m = 5$. Желтые вершины - умножение на поворотные множители.