Участник:1

1 ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

1.1 Свойства и структура алгоритма

1.1.1 Общее описание алгоритма

Главная идея БПФ состоит в сокращении многочисленных повторов сложения и умножения, которые выполняются в ДПФ (повторяющиеся множители: [math]e^{\frac{-2kpi\pi}{n}}[/math] Например при условии, что [math](pk)mod(n)=const[/math], при всех [math]k=\overline{0,n-1}[/math] и [math]p=\overline{0,n-1}[/math]

Напомним формулу ДПФ:

[math] y_{p}=\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}e^{\frac{-2kpi\pi}{n}}, p=\overline{0,n-1}[/math]

За счет использования данного факта, происходит значительное сокращение количества вычислительных операций. В данной статье используется алгоритм Cooley – Tukey, который предполагает собой разбиение исходного множества входных сигналов на два равных подмножества. При этом множество входных сигналов должно быть степенью двойки. Далее операция деления множества продолжается для образовавшихся подмножеств, и так далее. В результате над каждым из полученных подмножеств выполняется БПФ. Данные вычисления можно выполнять независимо друг от друга. Этот факт используется для реализации параллельной версии алгоритма. В общем алгоритм Cooley – Tukey строится из двух основных шагов:

• Преобразование входного массива данных (бит-реверсирование).
• Вычисление БПФ.

Приведем более детальное описание БПФ (математическое описание):

• Пусть [math]e^{\frac{-2kpi\pi}{n}}[/math] = [math]\omega _{n}^{kp}[/math].
• Разобьем исходный сигнал [math]x(n)[/math] на два подмножества, с четными [math]x_{1}(2n)[/math] и нечетными [math]x_{2}(2n+1)[/math] номерами.

Тогда получаем: [math]y_{p}=\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}\omega _{n}^{kp}= \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega _{n}^{2kp}+\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k+1}\omega _{n}^{(2k+1)p}[/math].

Выпишем два свойства омеги:

• [math]\omega_{\frac{n}{2}}=e^{2(\frac{-2i\pi}{n})}=\omega_{n}^{2}[/math]
• [math]\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=e^{\frac{-2ni\pi}{2n}}=e^{-i\pi}=-1[/math]

Воспользуемся первым: [math]y_{p}= \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega _{n}^{2kp}+\omega_{n}^{p}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k+1}\omega _{n}^{2kp}=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega _{\frac{n}{2}}^{kp}+\omega_{n}^{p}\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k+1}\omega _{\frac{n}{2}}^{kp}[/math]. Или, если обозначить [math]y_{1}(p)=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega _{\frac{n}{2}}^{kp}[/math], а [math]y_{2}(p)=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k+1}\omega _{\frac{n}{2}}^{kp}[/math], то получим формулу для вычисления координат изображения БПФ при [math]p=\overline{0...n/2}[/math]: [math]y_(p)=y_{1}(p)+\omega_{n}^{p}y_{2}(p)[/math].

Заметим, что [math]y(p); y_{1}(p); y_{2}(p)[/math] обладают свойством периодичности, с периодом [math]\frac{n}{2}[/math]. Покажем это для [math]y_{1}(p)[/math] : [math]y_{1}(p+\frac{n}{2})=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega_{\frac{n}{2}}^{k(p+\frac{n}{2})}=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega_{\frac{n}{2}}^{kp}\omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{kn}{2}}=\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}x_{2k}\omega_{\frac{n}{2}}^{kp}[/math]

Так как: [math]\omega_{\frac{n}{2}}^{\frac{kn}{2}}=e^{\frac{-4kni\pi}{2n}}=e^{-2ki\pi}=1[/math]

Далее необходимо определить [math]y(p)[/math] при [math]p\geq \frac{n}{2}[/math]. Теперь воспользуемся свойством периодичности обнаруженными нами ранее: [math]y(p+\frac{n}{2})=y_{1}(p+\frac{n}{2})+\omega_{n}^{(p+\frac{n}{2})}y_{2}(p+\frac{n}{2})[/math]. Воспользуемся вторым свойством омеги: [math]y(p)=y_{1}(p)-\omega_{n}^{p}y_{2}(p)[/math].

В конечном итоге мы пришли к конечной формуле для первого этапа вычисления БПФ. Дальнейшие этапы делят подмножества полученные на предыдущим этапе вычисления БПФ.

1.1.2 Математическое описание алгоритма

Бит-реверсирование

Бит-реверсирование – это преобразование двоичного числа путем изменения порядка следования бит в нем на противоположный. Бит-реверсирование применимо только к индексам элементов массива и предназначено для изменения порядка следования этих элементов, при этом значения самих элементов не изменяются. Так, к примеру, четырехмерный вектор [math](x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})[/math] изменится на [math](x_{0},x_{2},x_{1},x_{3})[/math]. Данная процедура необходима для разделения исходного сигнала на элементы подмножеств с четными и нечетными номерами, которые необходимы для вычисления [math]y_{1}(p)[/math] и [math]y_{2}(p)[/math].

Вычисление БПФ

После выполнения этапа бит-реверсирования выполняются вычисления проиллюстрированные на рисунке 2 в разделе Информационный граф. Рисунок 2 приведен для случая четырехмерного входного сигнала. Он предполагает совершение двух этапов. В общем же количество этапов равно [math]log_{2}n[/math]. Каждый этап содержит в себе вычисление одной и той же операции "бабочки". Где на вход подаются два числа [math]a[/math] и [math]b[/math], на выходе же получаются [math]a+bU[/math] и [math]a-bU[/math]. Где [math]U[/math]- это коэффициент поворота. Общая формула для коэффициента поворота: [math]e^{\frac{-ji\pi}{k}}[/math]. Где [math]k[/math]- размер шага "бабочки", [math]j[/math]- номер итерации вычислений над группой элементов, размером [math]2k[/math] [math](0\leq j \lt k )[/math].

1.1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Из двух вышеописанных этапов БПФ, бит-реверсирование является самым быстровыполнимым. Поэтому вычислительное ядро алгоритма будет лежать именно во втором этапе. А именно, им будет являться вычисление "бабочек". Количество этапов выполнения БПФ, как описывалось выше, равно [math]log_{2}n[/math]. Учитывая количество этапов, размерность входного сигнала и идею деления на подмножества, всего "бабочек" получается [math]\frac{nlog_{2}n}{2}[/math]. При этом операция умножения выполняется [math]\frac{n}{2}[/math] раз. Это связано с тем, что результаты вычисления "бабочки" [math]a+bU[/math] и [math]a-bU[/math].

1.1.4 Макроструктура алгоритма

Из всего вышесказанного заключаем, что макроструктуру алгоритма легче всего описать при помощи рекурсии:

• [math]\frac{n}{2}[/math] преобразований Фурье порядка 2
• умножение [math]\frac{n}{2}[/math] пар комплексных чисел
• [math]n[/math] комплексных сложений
• снова преобразование Фурье

1.1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Программный код (описан на языке С++) строится из ряда функций:

• бит-реверсирование
• инициализация размерности входного сигнала
• инициализация входного сигнала (при помощи генератора случайных чисел)
• процесс очистки памяти
• выполнение операции "бабочка"
• выполнение БПФ
• функция вывода результата (для тестирования)

---

главный программный код БПФ:

int main()
{
	complex<double> *inputSignal = NULL;   
	complex<double> *outputSignal = NULL; 
	int size = 0;
	cout << "FFT. Serial version." << endl;       
	ProcessInitialization(inputSignal, outputSignal, size);
	bit(inputSignal, outputSignal, size);
	SerialFFTCalculation(outputSignal, size);
	PrintSignal(outputSignal, size); //в случае тестирования
	ProcessTermination(inputSignal, outputSignal);
	cin.get();
}

---

1.1.5.1 функция бит-реверсирования

void bit(complex<double> inputSignal[], complex<double> *outputSignal, int size)
{ // процесс бит-реверсирования
	int j = 0, i = 0;
	while (i < size) 
	{
		if (j > i) 
		{ 
			outputSignal[i] = inputSignal[j];       
			outputSignal[j] = inputSignal[i]; 
		}
		else       
			if (j == i)          
				outputSignal[i] = inputSignal[i];
		
		int m = size >> 1;     
		while ((m >= 1) && (j >= m)) 
		{ 
			j -= m;       
			m = m >> 1; 
		}     
		j += m;     
		i++;
	}
}

1.1.5.2 инициализация размерности входного сигнала

void ProcessInitialization(complex<double>* &inputSignal, complex<double>* &outputSignal, int &size) 
{
	// инициализация размера входного сигнала  
	do
	{
		cout << "Enter the input signal length: ";
		cin >> size;
		if (size < 4)
			cout << "Input signal length should be >= 4" << endl;
		else
		{
			int tmpSize = size;
			while (tmpSize != 1)
			{
				if (tmpSize % 2 != 0)
				{
					cout << "Input signal length should be powers of two" << endl;
					size = -1;
					break;
				}
				tmpSize /= 2;
			}
		}
	}
	while (size < 4);  
	cout << "Input signal length = " << size << endl; 
	inputSignal = new complex<double>[size];   
	outputSignal = new complex<double>[size];
	DummyDataInitialization(inputSignal, size);
}

1.1.5.3 инициализация входного сигнала

void DummyDataInitialization(complex<double>* mas, int size)
{	
	for (int i = 0; i < size; i++)
	{
		mas[i] = int(rand() % 100);
	}
}

1.1.5.4 процесс очистки памяти

void ProcessTermination(complex<double>* &inputSignal, complex<double>* &outputSignal) 
{ 
	//очистка памяти
	delete[] inputSignal;   
	inputSignal = NULL;   
	delete[] outputSignal;   
	outputSignal = NULL; 
}

1.1.5.5 выполнение операции "бабочка"

void Butterfly(complex<double> *signal, complex<double> &u,int offset, int butterflySize)
{
	complex<double> tem = signal[offset + butterflySize] * u;
	signal[offset + butterflySize] = signal[offset] - tem;   
	signal[offset] += tem;
}

1.1.5.6 выполнение БПФ

void SerialFFTCalculation(complex<double> *signal, int size) 
{
	int m = 0;   
	for (int tmp_size = size; tmp_size > 1; tmp_size /= 2, m++);
	for (int p = 0; p < m; p++)
	{
		int butterflyOffset = 1 << (p + 1);
		int butterflySize = butterflyOffset >> 1;
		double coeff = M_PI / butterflySize;

		for (int i = 0; i < size / butterflyOffset; i++)
			for (int j = 0; j < butterflySize; j++)
				Butterfly(signal,complex<double>(cos(-j*coeff),sin(-j*coeff)),j+i*butterflyOffset,butterflySize);
	}
}

1.1.5.7 функция вывода результата (для тестирования)

void PrintSignal(complex<double> *signal, int size) 
{
	cout << "Result signal" << endl;   
	for (int i = 0; i < size; i++)     
		cout << signal[i] << endl;
}

1.1.6 Последовательная сложность алгоритма

Рассмотренный алгоритм Cooley – Tukey выполняется за [math]nlog_{2}n[/math] операций комплексного сложения и [math]\frac{n}{2}log_{2}n[/math] операций комплексного умножения. Таким образом последовательная сложность алгоритма является линейно-логарифмической.

1.1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Алгоритм Cooley – Tukey для n=4, при предварительно сделанном бит-реверсировании

1.1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Рисунок 2. Распараллеливание алгоритма Cooley – Tukey для n=8

Рисунок 2 получен из информационного графа, главной идеей которого является процедура деления множеств полученных на предыдущем шаге на два равных по мощности подмножества и применение к ним БПФ. То есть процесс вычисления распределяется между [math]\frac{n}{2}[/math] процессорами. И так как при последовательной реализации алгоритма было [math]\frac{n}{2}\log_{2}n[/math] операций комплексного умножения и [math]n\log_{2}n[/math] комплексного сложения/вычитания. Получается, что при параллельной реализации алгоритма мы будем иметь [math]\log_{2}n[/math] операций комплексного умножения и [math]2\log_{2}n[/math] комплексного сложения/вычитания. При этом, если используется функция HT(Hyper threading), то параллельная сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки составляет [math]\log_{2}n[/math].

1.1.9 Входные и выходные данные алгоритма

• входные (вектор): [math]\overline{a}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})[/math]
• выходные данные (вектор): [math]\overline{b}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})[/math]

Данные могут быть как действительными так и комплексными.

1.1.10 Свойства алгоритма

• Соотношение последовательной и параллельной сложности является линейным. Это хорошо видно из пункта ресурс параллелизма алгоритма.
• Вычислительная мощность алгоритма является логарифмической.
• Устойчивость.
  • Рассмотрим вопрос об устойчивости поближе. Так как БПФ отличается от ДПФ простым лишь сокращением одинаковых операций, то вопрос устойчивости можно рассматривать на примере ДПФ. Так, к примеру, возьмем формулу ДПФ и добавим возмущение: [math] y_{p}=\sum_{k=0}^{n-1}(x_{k}+\varepsilon )e^{\frac{-2*\pi*k*p*i}{n}}, p=\overline{0,n-1}[/math]. После чего преобразуем ее: [math]y_{p}=\sum_{k=0}^{n-1}x_{k}e^{\frac{-2*\pi*k*p*i}{n}}+\varepsilon\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{-2*\pi*k*p*i}{n}}[/math] и оценим вторую сумму, которая является геометрической прогрессией со знаменателем [math]q=e^{\frac{-2*\pi*p*i}{n}}[/math]. Таким образом оцениваемая сумма будет равняться: [math]\varepsilon\frac{1-e^{\frac{-2*\pi*p*i*(n-1))}{n}}}{1-e^{\frac{-2*\pi*p*i}{n}}}[/math]. При достаточно больших размерностях входного сигнала данное выражение сводится к: [math]\varepsilon (1-e^{-2*\pi*p*i})[/math]. В тригонометрической форме данного выражения: [math]\varepsilon (cos(\frac{2*\pi*p*(n-1)}{n})-i*sin(\frac{2*\pi*p*(n-1)}{n}))[/math] видно, что принимая во внимание целочисленность индексов [math]p[/math] получается 0. Таким образом, мы можем говорить об устойчивости алгоритма в целом, и абсолютной устойчивости алгоритма в асимптотике.
• исходя из информационного графа, можно сделать вывод о сбалансированности алгоритма.
• алгоритм полностью детерминирован.
• Степень исхода вершины информационного графа не превышает двух.

2 ЧАСТЬ. Программная реализация алгоритма

2.1 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Рисунок 3. Параллельная реализация алгоритма. Изменение эффективности(%)в зависимости от числа процессоров и размера области.

Как описывалось выше, каждый процессор получает достаточно низкий объем работы, что приводит к неэффективному распараллеливанию алгоритма (высокие затраты на передачу данных между процессорами по сравнению с вычислениями на них). Поэтому необходимо находить оптимальное количество процессоров для каждой отдельно взятой задачи. В данном примере, при размерности входного сигнала менее 262144, оптимальное количество процессоров составляет 1. При размерности 262144-4194304 оптимум достигался при 8 процессорах. И при размерности более 4194304- 16 процессоров. Вычисления проводились на суперкомпьютере «Ломоносов».

2.2 Существующие реализации алгоритма

Самой распространенной и известной реализацией дискретного БПФ является библиотека FFTW, разработанная Маттео Фриго и Стивеном Г. Джонсоном в Массачусетском технологическом институте. Данная библиотека существует для языков C и FORTRAN и позволяет производить вычисления в одном или нескольких измерениях. Входной сигнал может быть как действительным так и комплексным, а его размерность не обязательно должна быть степенью двойки. На данный момент последняя версия FFTW 3.3.5. Другие особенности библиотеки:

• Скорость. (Поддержка SSE / SSE2 / Altivec, начиная с версии 3.0. Версия 3.3.1 поддерживает AVX и ARM Neon.)
• Параллельные вычисления (OpenMP, MPI).
• Документация в форматах HTML, PDF.
• Данное программное обеспечение является свободным и распространяется по лицензии GNU (General Public License).

Здесь приводится пример реализации прямого БПФ для комплексных данных входного сигнала на языке C++.

#include <fftw3-mpi.h>
# include <stdlib.h>
# include <stdio.h>
#include <sys/stat.h>
#include <fcntl.h>
# include <time.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char **argv)
{
	const ptrdiff_t N0 = 4194304;
	fftw_plan planForw;
	fftw_complex *data, *dataOut;
	ptrdiff_t alloc_local, local_ni, local_i_start, i, j, local_no, local_o_start;
	int index, size;
	double startwtime, endwtime;
	MPI_Init(&argc, &argv);
	fftw_mpi_init();
	MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &index);
	MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &size);

	/* get local data size and allocate */
	alloc_local = fftw_mpi_local_size_1d(N0, MPI_COMM_WORLD, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE,
		&local_ni, &local_i_start, &local_no, &local_o_start);
	data = fftw_alloc_complex(alloc_local);
	dataOut = fftw_alloc_complex(alloc_local);
	/* create plan  */
	planForw = fftw_mpi_plan_dft_1d(N0, data, dataOut, MPI_COMM_WORLD,
		FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
	/* initialize data to some function my_function(x,y) */
	for (i = 0; i < local_ni; ++i)
	{
		data[i][0] = rand() / (double)RAND_MAX;
		data[i][1] = rand() / (double)RAND_MAX;
	}
	if (index == 0){
		startwtime = MPI_Wtime();

	}

	fftw_execute(planForw);
	if (index == 0){
		endwtime = MPI_Wtime();
		printf("wall clock time = %f\n",
			endwtime - startwtime);


	}

	fftw_destroy_plan(planForw);
	MPI_Finalize();
}

Скачав библиотеку и установив ее на рабочий компьютер, можно поэкспериментировать, используя вышеописанный исходный код. При этом, на стадии компиляции необходимо указывать директорию, где находятся заголовочные файлы и директорию, где находятся библиотечные файлы. Пример: mpicxx name.cpp -I/path/to/include/files -L/path/to/lib/files -lfftw3_mpi -lfftw3 -lm. Для версии 2.1.4 описание на русском языке приводится здесь.

Остальные реализации:

• GSL - GNU Scientific Library
• cuFFT
• Engineering and Scientific Subroutine Library (ESSL) and Parallel ESSL

3 Литература

[1] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков. Г. М. — 6-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний

[2] Г. Нуссбаумер. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток

[3] А.О. Лапаев Параллельное вычисление дискретного преобразования Фурье полинома в простом поле