Участник:Lexaloris/Умножение разреженной матрицы на вектор

Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(k)$
Объём входных данных	$k + m$
Объём выходных данных	$n$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(m)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n)$

Авторы страницы: Кочетков П.А и Новоселов А.Д.

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Пусть $N$ — число строк матрицы. Для каждой ее строки $I$ матрийы мы находим с помощью $IA$ значения первой $IAA$ и последней $IAB$ позиций, занимаемых элементами строки $I$ в массивах $JA$ и $AN$. Затем, чтобы вычислить скалярное произведение строки $I$ и вектора $B$, мы просто просматриваем $JA$ и $AN$ на отрезке от $IAA$ до $IAB$: каждое значение, хранимое в $JA$, есть столбцовый индекс и используется для извлечения из массива $B$ элемента, который должен быть умножен на соответствующее число из $AN$. Результат каж­дого умножения прибавляется к $C(I)$.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

$IA, JA, AN$ - заданная матрица в форме RR (С) U;

$B$ - заданный заполненный вектор;

$N$ - число строк матрицы.

Выход: $C$ вектор-произведение размерности $N$.

Формулы метода:

$\begin{align} & IAA_{i} = IA(i), \quad i \in [1, N], \\ & IAB_{i} = IA(i + 1) - 1, \quad i \in [1, N], \\ & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align}$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром, т.е. той частью алгоритма, на которую приходится основное время работы алгоритма, является вычисление значения $i$-го элемента $c_{i}$ вектора-произведения, т.е произведения строки $I$ матрицы $A$ и вектора $B$ по формуле:

$\begin{align} & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align}$

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

Далее для всех $i$ от $1$ до $N$ по нарастанию выполняются:

1. $c_{i} = 0; IAA = IA(i); IAB = IA(i + 1 ) - 1$

После этого, если $(IAB \lt = IAA)$:

2. Для всех $j$ от $IAA$ до $IAB$ выполняется:

$c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j))$

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для всего алгоритма потребуется выполнить $O(M)$ операций, где $M$ - число ненулевых эле­ментов матрицы.

1.7 Информационный граф

1.10 Свойства алгоритма

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.

3 Литература

[1] С. Писсанецки. Технология разреженных матриц. Изд. Мир, 1988.