Участник:Obirvalger/Метод рекурсивной координатной бисекции

Авторы: Гордеев Михаил, Колмаков Евгений.

1 Свойства и структура алгоритмов

1.4 Макроструктура алгоритма

Как записано в описании ядра алгоритма, основную часть метода составляют множественные (всего $k-1$) сортировки(функция sort).

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Обозначим через $D_k(n)$ сложность алгоритма рекурсивной координатной бисекции для графа с $n$ вершинами на $k$ частей.

Введем $D(n) = D_k(n)$ при $k = n$. Для $D(n)$ верно следующее рекуррентное равенство:

$\begin{array}{l} D(n) = S(n) + 2D(\frac{n}{2}) \\ D(1) = S(1) = 0 \\ \end{array}$, где $S(n)$ это сложность алгоритма сортировки массива из $n$ элементов.

Пусть $S(n) = O(n\log{n})$, например для сортировки слиянием, тогда по теореме о рекуррентном неравенстве $D(n) \lesssim n^{1+\varepsilon}$.

Для $D(n)$ есть точное значение: $\sum\limits_{i=0}^{\log_2{n}}2^i S(\frac{n}{2^i})$.

$D_k(n) = \sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i S(\frac{n}{2^i})$. Если использовать сортировку со сложностью $S(n) = O(n\log{n})$, то [math]D_k(n) = O(\sum\limits_{i=0}^{\log_2{k}}2^i \frac{n}{2^i} \log{\frac{n}{2^i}}) = O(n\log{k}log(\prod\limits_{i=0}^{\log_2{k}\frac{n}{2^i})) = O(\log{k}\cdot n\log{n})[/math].