Участник:Lexaloris/Умножение разреженной матрицы на вектор

Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(k)$
Объём входных данных	$k + m$
Объём выходных данных	$n$
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	$O(m)$
Ширина ярусно-параллельной формы	$O(n)$

Авторы страницы: A.Д. Новоселов и П.А. Кочетков

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

1.1.1 Хранение ненулевых элементов разреженной матрицы

1.1.1.1 Разреженный строчной формат

Одной из наиболее ши­роко используемых схем хранения разреженных матриц является разреженный строчный формат. Эта схема предъявляет минимальные требования к памяти и в то же время оказывается очень удобной для умножения разреженной матрицы на вектор. Например, рассмотрим формат хранения разряженной матрицы $A$:

Значения нену­левых элементов матрицы и соответствующие столбцовые индексы хранятся в этой схеме по строкам в двух массивах $AN$ и $JA$ соответственно. Используется также массив указателей $IA$, отмечающих позиции массивов $AN$ и $JA$, с которых начинается описание очередной строки. Дополнительная компо­нента в $IA$ содержит указатель первой свободной позиции в $JA$ и $AN$.

Таким образом $A$ представляется в виде:

  IA = [ 1 4 4 6 ]
  JA = [ 3 4 8 6 8 ]
  AN = [ 1 3 5 7 1 ]

Данный способ представления называют полным, поскольку представлена вся матрица $A$, и упорядоченным, поскольку эле­менты каждой строки хранятся в соответствии с возрастанием столбцовых индексов. Таким образом, это строчное представление, полное и упорядоченное, или сокращенно (RR (С) О).

1.1.1.2 Неупорядоченное представление

Представления разреженных матриц необязательно должны быть упорядочены в том смысле, что, хотя упорядоченность строк поддерживается, внутри каждой строки элементы могут храниться в произвольном порядке. Для матрицы А нашего примера вполне можно было бы использовать и строчное представление, полное, но неупорядоченное (RR (С) U ).

Неупорядоченное представление $A$:

  IA = [ 1 4 4 6 ]
  JA = [ 8 3 4 8 6 ]
  AN = [ 5 1 3 1 7 ]

Неупорядоченные представления могут быть очень удобны. Результаты большинства матричных операций получаются не­ упорядоченными, и упорядочение их стоило бы больших затрат машинного времени. В то же время, за немногими исключениями, алгоритмы для разреженных матриц не требуют, чтобы представления были упорядоченными.

1.1.2 Умножение разреженной матрицы на вектор

Пусть $N$ — число строк матрицы. Для каждой ее строки $I$ матрицы мы находим с помощью $IA$ значения первой $IAA$ и последней $IAB$ позиций, занимаемых элементами строки $I$ в массивах $JA$ и $AN$. Затем, чтобы вычислить скалярное произведение строки $I$ и вектора $B$, мы просто просматриваем $JA$ и $AN$ на отрезке от $IAA$ до $IAB$: каждое значение, хранимое в $JA$, есть столбцовый индекс и используется для извлечения из массива $B$ элемента, который должен быть умножен на соответствующее число из $AN$. Результат каж­дого умножения прибавляется к $C(I)$.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

$IA, JA, AN$ - заданная матрица в форме (RR (С) U);

$B$ - заданный заполненный вектор;

$N$ - число строк матрицы.

Выход: $C$ вектор-произведение размерности $N$.

Формулы метода:

$\begin{align} & IAA_{i} = IA(i), \quad i \in [1, N], \\ & IAB_{i} = IA(i + 1) - 1, \quad i \in [1, N], \\ & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align}$

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром, т.е. той частью алгоритма, на которую приходится основное время его работы, является вычисление значения $i$-го элемента $c_{i}$ вектора-произведения, т.е произведения строки $I$ матрицы $A$ и вектора $B$ по формуле:

$\begin{align} & c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j)), \quad i \in [1, N] \\ \end{align}$

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательность исполнения метода следующая:

Далее для всех $i$ от $1$ до $N$ по нарастанию выполняются:

1. $c_{i} = 0; IAA = IA(i); IAB = IA(i + 1 ) - 1$

После этого, если $(IAB \lt = IAA)$:

2. Для всех $j$ от $IAA$ до $IAB$ выполняется:

$c_{i} = \sum\limits_{j = IAA_{i}}^{IAB_{i}} AN(j)B(JA(j))$

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для всего алгоритма потребуется выполнить $O(M)$ операций, где $M$ - число ненулевых эле­ментов матрицы.

1.7 Информационный граф

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма.

1.10 Свойства алгоритма

Алгоритм в рамках выбранной версии полностью детерминирован.

Вычислительная мощность алгоритма, как отношение числа операций к суммарному объему входных и выходных данных – константа.

3 Литература

[1] С. Писсанецки. Технология разреженных матриц. Изд. Мир, 1988.