Участник:Макарова Алёна/Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений GMRES (обобщенный метод минимальных невязок): различия между версиями
(Продолжение) |
(Описание) |
||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
Для решения системы <math>Ax = b</math> с невырожденной матрицей <math>A</math>, выбирается начальное приближение <math>x_0</math>, затем решается редуцированная система <math>Au = r_0</math>, где <math>r_0 = b - Ax_0, x = x_0 + u</math>. Подпространства Крылова строятся для редуцированной системы (в предположении, что <math>r_0 \neq 0</math>). | Для решения системы <math>Ax = b</math> с невырожденной матрицей <math>A</math>, выбирается начальное приближение <math>x_0</math>, затем решается редуцированная система <math>Au = r_0</math>, где <math>r_0 = b - Ax_0, x = x_0 + u</math>. Подпространства Крылова строятся для редуцированной системы (в предположении, что <math>r_0 \neq 0</math>). | ||
| − | Пусть <math>x_i = x_0 + y</math>, где <math> y \in | + | Пусть <math>x_i = x_0 + y</math>, где <math> y \in \mathcal{K}_i </math>. Невязка имеет вид <math>r_i = r_0 - Ay</math>, а её длина минимальна, в силу теоремы Пифагора, в том и только том случае, когда |
| − | + | :<math> | |
| − | ''Геометрическая реализация'' метода минимальных невязок заключается в построении последовательности векторов <math>q_1, q_2,...</math> таким образом, что <math>q_1, q_2,.., q_i</math> дают базис в подпространстве Крылова <math> | + | r_i \perp A\mathcal{K}_i |
| − | <math>q_{i+1} \in | + | |
| + | </math>. | ||
| + | |||
| + | Таким образом, для реализации <math>i</math>-го шага требуется опустить перпендикуляр из вектора <math>r_0</math> на подпространство <math>A\mathcal{K}_i</math>. Проще всего это сделать, если в данном подпространстве уже найден ортогональный базис. | ||
| + | |||
| + | ==== Геометрическая реализация ==== | ||
| + | |||
| + | ''Геометрическая реализация'' метода минимальных невязок заключается в построении последовательности векторов <math>q_1, q_2,...</math> таким образом, что <math>q_1, q_2,.., q_i</math> дают базис в подпространстве Крылова <math>\mathcal{K}_i</math> и при этом вектора <math>p_1 = Aq_1, ..., p_i = Aq_i</math> образуют ортогональный базис в подпространстве <math>A\mathcal{K}_i</math>. Вектор <math>q_{i+1} \notin \mathcal{K}_i</math> должен обладать следующими свойствами: | ||
| + | :<math> | ||
| + | |||
| + | q_{i+1} \in \mathcal{K}_{i+1}, p_{i+1} = Aq_{i+1} \perp A\mathcal{K}_i | ||
| + | |||
| + | </math>. | ||
Его можно получить с помощью процесса ортогонализации, применённого к вектору <math>p = Aq</math>, где <math>q = Aq_i</math>. В геометрической реализации необходимо хранить две системы векторов: <math>q_1, ..., q_i</math> и <math>p_1, ..., p_i</math>. | Его можно получить с помощью процесса ортогонализации, применённого к вектору <math>p = Aq</math>, где <math>q = Aq_i</math>. В геометрической реализации необходимо хранить две системы векторов: <math>q_1, ..., q_i</math> и <math>p_1, ..., p_i</math>. | ||
| − | ''Алгебраическая реализация'' метода минимальных невязок использует лишь одну систему векторов, образующих ортогональные базисы в подпространствах <math> | + | ==== Алгебраическая реализация ==== |
| + | |||
| + | ''Алгебраическая реализация'' метода минимальных невязок использует лишь одну систему векторов, образующих ортогональные базисы в подпространствах <math>\mathcal{K}_i</math>. | ||
| + | |||
| + | <math>q_1 = r_0/||r_0||_2</math>. Чтобы получить ортонормированный базис <math>q_1, ..., q_{i+1}</math> в <math>\mathcal{K}_{i+1} = \mathcal{K}_{i+1}(r_0, A)</math>, проводим ортогонализацию вектора <math>Aq_i</math> к векторам <math>q_1, ..., q_i</math>. Если <math>Q_i \equiv [q_1, ..., q_i] \in \mathbb{C}^{n*i}</math>, то получим | ||
| + | |||
| + | :<math> | ||
| + | |||
| + | AQ_i = Q_{i+1}\hat{H_i}, \hat{H_i}= \begin{bmatrix} H_i \\ 0 ... 0 & h_{i+1 i} \end{bmatrix}, | ||
| + | |||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | где <math>H_i</math> - верхняя хессенбергова матрица порядка <math>i</math>. | ||
| + | |||
| + | Далее рассмотрим <math>QR</math>-разложение прямоугольной матрицы <math>\hat{H_i}</math>: | ||
| + | |||
| + | :<math> | ||
| + | |||
| + | \hat{H_i} = U_iR_i, R_i \in \mathbb{C}^{i*i} | ||
| + | |||
| + | </math>. | ||
| + | |||
| + | Тогда минимум невязки <math>||r_0 - AQ_iy||_2</math> по всем <math>y</math> будет достигаться в том случае, если <math>y = y_i</math> удовлетворяет уравнению | ||
| + | |||
| + | :<math> | ||
| + | |||
| + | R_iy_i = z_i \equiv ||r_0||_2U^*_ie_1, e_1 = \begin{bmatrix} 1 0 ... 0 \end{bmatrix}^T, | ||
| + | |||
| + | </math>. | ||
| + | |||
| + | Матрица <math>R_i</math> невырожденная, следовательно, | ||
| + | |||
| + | :<math> | ||
| + | |||
| + | x_i = x_0 + Q_iy_i = x_0 + Q_iR_i^{-1}z_i | ||
| + | |||
| + | </math>. | ||
| + | |||
| + | === Вычислительное ядро алгоритма === | ||
| + | |||
| + | Главные затраты <math>i</math>-ой итерации связаны с ортогонализацией. | ||
| + | |||
| + | === Макроструктура алгоритма === | ||
| + | |||
| + | === Схема реализации последовательного алгоритма === | ||
| + | |||
| + | === Последовательная сложность алгоритма === | ||
| + | |||
| + | === Информационный граф === | ||
| + | |||
| + | === Ресурс параллелизма алгоритма === | ||
| + | |||
| + | === Входные и выходные данные алгоритма === | ||
| − | + | === Свойства алгоритма === | |
== Литература == | == Литература == | ||
Версия 16:59, 15 октября 2016
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 1.1 Общее описание алгоритма
- 1.2 Математическое описание алгоритма
- 1.3 Вычислительное ядро алгоритма
- 1.4 Макроструктура алгоритма
- 1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
- 1.6 Последовательная сложность алгоритма
- 1.7 Информационный граф
- 1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
- 1.9 Входные и выходные данные алгоритма
- 1.10 Свойства алгоритма
- 2 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Метод минимальных невязок представляет собой итерационный метод для численного решения несимметричной системы линейных уравнений. Метод приближает решение вектором в подпространстве Крылова с минимальной невязкой. Чтобы найти этот вектор используется итерация Арнольди.
Впервые метод минимальных невязок был описан в книге Марчука и Кузнецова "Итерационные методы и квадратичные функционалы" [1] и представлял собой геометрическую реализацию метода минимальных невязок.
Алгебраическая реализация метода минимальных невязок была предложена Саадом и Шульцем в 1986 году [2]. С их подачи за методом закрепилась аббревиатура GMRES (обобщенный метод минимальных невязок).
1.2 Математическое описание алгоритма
Для решения системы [math]Ax = b[/math] с невырожденной матрицей [math]A[/math], выбирается начальное приближение [math]x_0[/math], затем решается редуцированная система [math]Au = r_0[/math], где [math]r_0 = b - Ax_0, x = x_0 + u[/math]. Подпространства Крылова строятся для редуцированной системы (в предположении, что [math]r_0 \neq 0[/math]).
Пусть [math]x_i = x_0 + y[/math], где [math] y \in \mathcal{K}_i [/math]. Невязка имеет вид [math]r_i = r_0 - Ay[/math], а её длина минимальна, в силу теоремы Пифагора, в том и только том случае, когда
- [math] r_i \perp A\mathcal{K}_i [/math].
Таким образом, для реализации [math]i[/math]-го шага требуется опустить перпендикуляр из вектора [math]r_0[/math] на подпространство [math]A\mathcal{K}_i[/math]. Проще всего это сделать, если в данном подпространстве уже найден ортогональный базис.
1.2.1 Геометрическая реализация
Геометрическая реализация метода минимальных невязок заключается в построении последовательности векторов [math]q_1, q_2,...[/math] таким образом, что [math]q_1, q_2,.., q_i[/math] дают базис в подпространстве Крылова [math]\mathcal{K}_i[/math] и при этом вектора [math]p_1 = Aq_1, ..., p_i = Aq_i[/math] образуют ортогональный базис в подпространстве [math]A\mathcal{K}_i[/math]. Вектор [math]q_{i+1} \notin \mathcal{K}_i[/math] должен обладать следующими свойствами:
- [math] q_{i+1} \in \mathcal{K}_{i+1}, p_{i+1} = Aq_{i+1} \perp A\mathcal{K}_i [/math].
Его можно получить с помощью процесса ортогонализации, применённого к вектору [math]p = Aq[/math], где [math]q = Aq_i[/math]. В геометрической реализации необходимо хранить две системы векторов: [math]q_1, ..., q_i[/math] и [math]p_1, ..., p_i[/math].
1.2.2 Алгебраическая реализация
Алгебраическая реализация метода минимальных невязок использует лишь одну систему векторов, образующих ортогональные базисы в подпространствах [math]\mathcal{K}_i[/math].
[math]q_1 = r_0/||r_0||_2[/math]. Чтобы получить ортонормированный базис [math]q_1, ..., q_{i+1}[/math] в [math]\mathcal{K}_{i+1} = \mathcal{K}_{i+1}(r_0, A)[/math], проводим ортогонализацию вектора [math]Aq_i[/math] к векторам [math]q_1, ..., q_i[/math]. Если [math]Q_i \equiv [q_1, ..., q_i] \in \mathbb{C}^{n*i}[/math], то получим
- [math] AQ_i = Q_{i+1}\hat{H_i}, \hat{H_i}= \begin{bmatrix} H_i \\ 0 ... 0 & h_{i+1 i} \end{bmatrix}, [/math]
где [math]H_i[/math] - верхняя хессенбергова матрица порядка [math]i[/math].
Далее рассмотрим [math]QR[/math]-разложение прямоугольной матрицы [math]\hat{H_i}[/math]:
- [math] \hat{H_i} = U_iR_i, R_i \in \mathbb{C}^{i*i} [/math].
Тогда минимум невязки [math]||r_0 - AQ_iy||_2[/math] по всем [math]y[/math] будет достигаться в том случае, если [math]y = y_i[/math] удовлетворяет уравнению
- [math] R_iy_i = z_i \equiv ||r_0||_2U^*_ie_1, e_1 = \begin{bmatrix} 1 0 ... 0 \end{bmatrix}^T, [/math].
Матрица [math]R_i[/math] невырожденная, следовательно,
- [math] x_i = x_0 + Q_iy_i = x_0 + Q_iR_i^{-1}z_i [/math].
1.3 Вычислительное ядро алгоритма
Главные затраты [math]i[/math]-ой итерации связаны с ортогонализацией.
1.4 Макроструктура алгоритма
1.5 Схема реализации последовательного алгоритма
1.6 Последовательная сложность алгоритма
1.7 Информационный граф
1.8 Ресурс параллелизма алгоритма
1.9 Входные и выходные данные алгоритма
1.10 Свойства алгоритма
2 Литература
- ↑ Г.И. Марчук, Ю.А. Кузнецов, Итерационные методы и квадратичные функционалы, Методы вычислительной математики, Новосибирск, 1975, с. 4-143.
- ↑ Y.Saad, M.H. Schultz, GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems, SIAM J. Scientific and Stat. Comp. 7: 856-869 (1986).
