Участник:Alexander34396/Обобщенный метод минимальных невязок

Материал из Алговики
Перейти к навигации Перейти к поиску
Symbol wait.svgЭта работа ждет рассмотрения преподавателем
Дата последней правки страницы: 17.10.2016
Авторы этой статьи считают, что задание выполнено.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Обобщённый метод минимальных невязок (англ. Generalized minimal residual method, GMRES) - итерационный метод численного решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной матрицей. Метод основан на минимизации квадратичного функционала невязки на подпространствах Крылова. Разработан Юсефом Саадом и Мартином Шульцем[1] в 1986 году как обобщение метода MINRES[2] на случай систем с несимметричными матрицами.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

  • система линейных алгебраических уравнений вида [math] Ax = b [/math], где [math] A [/math] — невырожденная матрица размера [math]n[/math]-на-[math] n [/math];
  • [math] x_0 [/math] - начальное приближение.

Вычисляемые данные:

  • [math] x_k [/math] - приближённое решение исходной системы.

Метод GMRES приближает точное решение исходной системы [math] Ax = b [/math] вектором [math] x_k [/math], который минимизирует [math] l_2 [/math]-норму невязки [math] r_k = Ax_k - b[/math] на подпространстве Крылова:

[math] K_k = K_k(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{k-1}b \} [/math].

На каждой итерации метода решение уточняется поправкой, представленной в виде разложения по [math] l_2 [/math]-ортонормированному базису пространства [math] K_k [/math]:

[math] x_k = x_0 + z_k [/math], где [math] x_0 [/math] - некоторое начальное приближение, [math] z_k \in K_k [/math] - поправка решения.

1.2.1 Ортогонализация Арнольди

Для построения ортонормированного базиса [math] K_k [/math] метод использует процесс Арнольди.

Исходные данные:

  • [math] v_1 [/math], такой что [math] \|v_1\|_2 = 1 [/math];
  • матрица A размером [math] n [/math]-на-[math] n [/math].

Формула процесса:

[math] h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j} [/math], где [math] h_{ij} = (Av_j, v_i)[/math], [math] \quad j=1,\ldots,k [/math].

Алгоритм процесса:

Выполнять для [math] \quad j=1,\ldots,k [/math]:

  1. [math] h_{ij} = (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j [/math];
  2. [math] \hat{v}_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i} [/math];
  3. [math] h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2 [/math];
  4. [math] v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}} [/math].

При введении матричных обозначений можно записать:

  1. [math] z_k = V_ky_k [/math], где [math] y_k \in \mathbb{R}^k [/math] - вектор коэффициентов;
  2. [math] AV_k = V_kH_k + h_{k+1k}v_{k+1} e_k^T = V_{k+1}\overline{H}_k [/math], где [math] V_k = [v_1|v_2|...|v_k] [/math], а [math] \overline{H}_k [/math] - верхняя матрица Хессенберга размерности [math] (j+1) [/math] на [math] j [/math].

1.2.2 Минимизация функционала невязки

Для решения исходной системы GMRES вычисляет приближённое решение [math] x_k [/math], которое минимизизует функционал невязки:

[math] J(y) = \|b- A x_k\|_2 = \|b - A(x_0 + V_ky)\|_2 = \|\beta e_1 - \overline{H}_ky_k \|_2 [/math], где [math] \beta = \|r_0\|_2 [/math].

Вектор [math] y_k [/math] может найден как решение линейной задачи наименьших квадратов размера [math] k+1 [/math]-на-[math] k [/math]:

[math] y_k = \arg\min_{y}\| \beta e_1 - \overline{H}_ky\|_2 [/math].

Для решения задачи матрица [math] \overline{H}_k [/math] приводится к верхнему треугольному виду с помощью [math] k [/math] последовательных вращений Гивенса.

1.2.3 Общая схема метода

В общем виде k-aя итерация алгоритма GMRES может быть записан следующим образом:

  1. найти ортонормированный базис [math] V_k [/math] подпространства [math] K_k [/math] с помощью ортогонализации Арнольди;
  2. найти [math] y_k [/math], минимизирующий [math] \|r_k\|_2 [/math];
  3. вычислить [math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math];
  4. вычислить [math] r_k [/math] и остановиться,если требуемая точность была достигнута, иначе повторить.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро последовательной версии метода GMRES состоит из двух частей:

  • Вычисление ортонормированного базиса [math] K_k [/math];
  • Формирование приближенного решения [math] x_k [/math].

Для вычисления ортонормированного базиса [math] K_k [/math] метод использует процесс Арнольди:

[math] h_{j+1j}v_{j+1} = Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{j} [/math], где [math] h_{ij} = (Av_j, v_i)[/math], [math] \quad j=1,\ldots,k [/math].

Для нахождения приближённого решения [math] x_k [/math] метод использует формулу:

[math] x_k = x_0 + V_ky_k [/math].

1.4 Макроструктура алгоритма

В алгоритме можно выделить следующие макрооперации:

  • Умножение матрицы на вектор;
  • Вычисление скалярного произведения векторов;
  • Вычисление [math] l_2 [/math]-нормы вектора;
  • Умножение вектора на скаляр;
  • Деление вектора на скаляр.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

На практике используется перезапускаемая версия метода - GMRES(m):

1. Подготовка перед итерационным процессом:

  1. Выбрать начальное приближение [math] x_0 [/math];
  2. Посчитать невязку [math] r_0 = b - Ax_0 [/math];
  3. Вычислить [math] v_1 = \frac{r_0}{\|r_0\|_2} [/math].

2. Построение ортонормированного базиса [math] K_m [/math]:

Для всех [math] j [/math] от 1 до m по нарастанию выполнять:
  1. [math] h_{ij} := (Av_j, v_i), \quad i=1,\ldots,j [/math];
  2. [math] \hat{v}_{j+1} := Av_j - \sum_{i=1}^j h_{ij}v_{i} [/math];
  3. [math] h_{j+1j} = \|\hat{v}_{j+1}\|_2 [/math];
  4. [math] v_{j+1} = \frac{\hat{v}_{j+1}}{h_{j+1j}} [/math].

3. Вычисление [math] x_m [/math]:

  1. [math] x_m = x_0 + V_my_m [/math], где [math]y_m[/math] минимизирует [math]\|r_0 - AV_my_m\|_2[/math];
  2. Вычислить [math] r_m [/math];
  3. Если требуемая точность достигнута, остановиться.

4. Перезапуск:

  1. [math]x_0 = x_m[/math];
  2. [math]v_1 = \frac{r_m}{\|r_m\|_2}[/math];
  3. Перейти к шагу 2.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Если пренебречь сложностью вычисления [math] y_k [/math], то общую сложность алгоритма GMRES можно разделить на две части: 1. Сложность вычисления ортонормированного базиса пространства [math] K_k [/math]:

a) Для вычисления [math] j [/math]-го вектора базиса [math] K_k, j \lt k[/math] требуется:
[math] NZ + (2j + 1)n [/math] мультипликативных операций, где [math] NZ [/math] - количество ненулевых элементов матрицы [math] A [/math].
b) Вычисление последнего вектора базиса требует:
[math] n(k + 1) [/math] мультипликативных операций.
c) Общая мультипликативная сложность вычисления ортонормированного базиса [math] K_k [/math]:
[math] nk(k + 1) + kNZ [/math].

2. Сложность вычисления приближённого решения [math] x_k [/math]:

Вычисление этой формулы требует [math] nk [/math] мультипликативных операций.

1.7 Информационный граф

2 Литература

<references \>

  1. ↑ Y.Saad, M.H. Schultz, GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems, SIAM J. Scientific and Stat. Comp. 7: 856-869 (1986)
  2. ↑ C. C. Paige and M. A. Saunders. Solution of sparse indefinite systems of linear equations, SIAM J. Numerical Analysis 12, 617-629 (1975)
Источник — https://algowiki-project.org/w/ru/index.php?title=Участник:Alexander34396/Обобщенный_метод_минимальных_невязок&oldid=12984