Участница:V/Вычисление статистик квадрата норм разностей спектральных проекторов случайных матриц
Основные авторы описания: В.С.Шумовская
1 Свойства и структура алгоритма
1.1 Общее описание алгоритма
Пусть [math]X_{1},\dots, X_{n}[/math] -- независимые и нормально распределенные случайные вектора в [math]\R^p[/math] с нулевым средним и матрицей ковариацией [math]\Sigma[/math], она лежит в [math]\R^{pxp}[/math] и такая, что ее собственные значения быстро убывают, т.е. 3-5 больших, а остальные, к примеру, в диапазоне от 1 до 3.
К этой выборке применим бутстрэп и вычислим в мире бутстрэпа [math]M[/math] матриц ковариаций сигма [math]\Sigma^{o}_{j}, j = 1,\dots,M.[/math]
Далее фиксируем [math]r[/math], обозначим за [math]P_{r}, P^{o}_{j}, j = 1,\dots,M[/math] - проекторы на r-ое подпространство и вычислим следующие статистики:
[math]S^{o}_{j} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}[/math]
Задача -- вычислить большое количество этих статистик для визуализации их распределения.
1.2 Математическое описание алгоритма
- Генерация матрицы ковариации.
- Возьмем нужный нам набор собственных значений и поместим их на диагонали матрицы [math]\Lambda.[/math]
- Далее генерируем базис [math]p[/math]-мерного пространства и поместим его в матрицу [math]U.[/math]
- Тогда [math]\Sigma = U\Lambda U^{T}.[/math]
- Генерация векторов [math]X[/math] ~ [math]N(\theta, \Sigma).[/math]
- Генерация весов [math]w[/math] ~ [math]N(1, 1).[/math]
- Вычисление матриц ковариаций в бутстрэпе [math]\Sigma^{o} = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}w_{k}X_{k}X^{T}_{k}. [/math]
- Вычисление собственных векторов [math]u_{1},\dots,u_{p}[/math] (в порядке убывания).
- Вычисление проекторов (считаем, что одномерные) по формуле [math]u = u_{r}u^{T}_{r}.[/math]
- Вычисление статистик [math]S^{o} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}.[/math]