Полный метод циклической редукции

Циклическая редукция для трёхдиагональной матрицы, точечный вариант
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(n)[/math]
Объём входных данных	[math]4n-2[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(log n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Основные авторы описания: А.В.Фролов.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Циклическая редукция - один из вариантов метода исключения неизвестных в приложении к решению СЛАУ вида [math]Ax = b[/math], где

[math] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & a_{n-1 n-2} & a_{n-1 n-1} & a_{n-1 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n n-1} & a_{n n} \\ \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix} [/math]

Бывает, однако, что при изложении сути методов решения трёхдиагональных СЛАУ элементы правой части и матрицы системы обозначают и нумеруют по-другому, например СЛАУ может иметь вид

[math] A = \begin{bmatrix} b_{1} & a_{1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ c_{2} & b_{2} & a_{2} & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & c_{3} & b_{3} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & c_{n-1} & b_{n-1} & a_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & c_{n} & b_{n} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{1} \\ f_{2} \\ \vdots \\ f_{n} \\ \end{bmatrix} [/math]

или, если записывать отдельно по уравнениям, то

[math]b_{1} x_{1} + a_{1} x_{2} = f_{1}[/math],

[math]c_{i} x_{i-1} + b_{i} x_{i} + a_{i} x_{i+1} = f_{i}, 2 \le i \le n-1[/math],

[math]c_{n} x_{n-1} + b_{n} x_{n} = f_{n}[/math].

Циклическая редукция, как и все варианты прогонки, заключается в исключении из уравнений неизвестных, однако, в отличие от них, в ней исключение ведут одновременно по всей СЛАУ. В принципе, её можно считать вариантом метода редукции, выполняемого максимально возможное для данной СЛАУ число раз.

Рисунок 1. Граф алгоритма циклической редукции при n=15.

1.2 Математическое описание алгоритма

Лучше всего схема циклической редукции разработана для случая [math]n = 2^{k}-1[/math]. Эта схема состоит из прямого и обратного ходов. Прямой ход состоит из последовательного уменьшения в СЛАУ количества уравнений почти в 2 раза (за счёт подстановки из уравнений с нечётными номерами заменяются уравнения с чётными), пока не останется одно уравнение, обратный - в получении всё большего количества компонент решения исходной СЛАУ. Оба хода - как прямой, так и обратный - разбиты на шаги. Здесь мы приведём тот вариант алгоритма, в котором операции экономятся за счёт предварительной нормировки уравнений, используемых для исключения неизвестных.

1.2.1 Прямой ход

1.2.1.1 Шаг 1

Для каждого из уравнений

[math]c_{i} x_{i-1} + b_{i} x_{i} + a_{i} x_{i+1} = f_{i}[/math]

с нечётными [math]i[/math] выполняется его замена на уравнение

[math]c^{(1)}_{i} x_{i-1} + x_{i} + a^{(1)}_{i} x_{i+1} = f^{(1)}_{i}[/math]

с помощью деления уравнения на [math]b_{i}[/math]:

[math]c^{(1)}_{i} = c_{i}/b_{i}[/math],

[math]a^{(1)}_{i} = a_{i}/b_{i}[/math],

[math]f^{(1)}_{i} = f_{i}/b_{i}[/math].

Уравнение

[math]b_{1} x_{1} + a_{1} x_{2} = f_{1}[/math]

меняется на уравнение

[math]x_{i} + a^{(1)}_{1} x_{2} = f^{(1)}_{1}[/math]:

[math]a^{(1)}_{1} = a_{1}/b_{1}[/math],

[math]f^{(1)}_{1} = f_{1}/b_{1}[/math].

Уравнение

[math]c_{n} x_{n-1} + b_{n} x_{n} = f_{n}[/math]

меняется на уравнение

[math]c^{(1)}_{n} x_{n-1} + x_{n} = f^{(1)}_{n}[/math]:

[math]c^{(1)}_{n} = c_{n}/b_{n}[/math],

[math]f^{(1)}_{n} = f_{n}/b_{n}[/math].

Для каждого же из уравнений

[math]c_{i} x_{i-1} + b_{i} x_{i} + a_{i} x_{i+1} = f_{i}[/math]

с чётными [math]i[/math] (кроме [math]2[/math] и [math]n-2[/math]) выполняется его замена на уравнение

[math]c^{(1)}_{i} x_{i-2} + b^{(1)}_{i} x_{i} + a^{(1)}_{i} x_{i+2} = f^{(1)}_{i}[/math]

при этом

[math]c^{(1)}_{i} = - c_{i}c^{(1)}_{i-1}[/math],

[math]a^{(1)}_{i} = - a_{i}a^{(1)}_{i+1}[/math],

[math]b^{(1)}_{i} = b_{i} - c_{i}a^{(1)}_{i-1} - a_{i}c^{(1)}_{i+1}[/math],

[math]f^{(1)}_{i} = f_{i} - c_{i}f^{(1)}_{i-1} - a_{i}f^{(1)}_{i+1}[/math].

Для 2го уравнения выполняется его замена на уравнение

[math]b^{(1)}_{2} x_{2} + a^{(1)}_{2} x_{4} = f^{(1)}_{2}[/math],

при этом

[math]a^{(1)}_{2} = - a_{2}a^{(1)}_{3}[/math],

[math]b^{(1)}_{2} = b_{2} - c_{2}a^{(1)}_{1} - a_{2}c^{(1)}_{3}[/math],

[math]f^{(1)}_{2} = f_{2} - c_{2}f^{(1)}_{1} - a_{2}f^{(1)}_{3}[/math].

[math]n-2[/math]-е уравнение заменяется на

[math]c^{(1)}_{n-2} x_{n-4} + b^{(1)}_{n-2} x_{n-2} = f^{(1)}_{n-2}[/math]

при этом

[math]c^{(1)}_{n-2} = - c_{n-2}c^{(1)}_{n-3}[/math],

[math]b^{(1)}_{n-2} = b_{n-2} - c_{n-2}a^{(1)}_{n-3} - a_{n-2}c^{(1)}_{n-1}[/math],

[math]f^{(1)}_{n-2} = f_{n-2} - c_{n-2}f_^{(1)}{n-3} - a_{n-2}f^{(1)}_{n-1}[/math].