Участник:Elena777mc/Плотностный алгоритм кластеризации DBSCAN

Плотностный алгоритм кластеризации DBSCAN
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]-[/math]
Объём входных данных	[math]-[/math]
Объём выходных данных	[math]-[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]-[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]-[/math]

Основные авторы описания: Малахова Е.С., Сагиолданова Ж.

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Кластеризация - задача разбиения множества объектов на группы, называемые кластерами. Внутри каждой группы должны оказаться «похожие» объекты, а объекты разных группы должны быть как можно более отличными. В плотностных методах кластеры рассматриваются как регионы пространства данных с высокой плотностью объектов, которые разделены регионами с низкой плотностью объектов.

Алгоритм DBSCAN (Density Based Spatial Clustering of Applications with Noise) – один из первых алгоритмов кластеризации плотностным методом. Данный алгоритм является плотностным алгоритмом для кластеризации пространственных данных с присутствием шума, был предложен Мартином Эстер, Гансом-Питером Кригель и коллегами в 1996 году как решение проблемы разбиения (изначально пространственных) данных на кластеры произвольной формы. Большинство алгоритмов, производящих плоское разбиение, создают кластеры по форме близкие к сферическим, так как минимизируют расстояние документов до центра кластера.

Авторы DBSCAN экспериментально показали, что их алгоритм способен распознать кластеры различной формы. Идея, положенная в основу алгоритма, заключается в том, что внутри каждого кластера наблюдается типичная плотность точек (объектов), которая заметно выше, чем плотность снаружи кластера, а также плотность в областях с шумом ниже плотности любого из кластеров. Ещё точнее, что для каждой точки кластера её соседство заданного радиуса должно содержать не менее некоторого числа точек, это число точек задаётся пороговым значением.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: объекты, которые нужно кластеризовать, параметры [math]MinPts, \ \varepsilon[/math] . Между объектами можно считать расстояния.

Вычисляемые данные: разбиение объектов по кластерам. Количество кластеров зависит от исходных данных.

Для построения оценки плотности, на основе соседства точек вводятся понятия достижимости и связности. Под [math]\varepsilon [/math] -соседями точки [math]x \in X[/math] понимается множество точек, расстояние до которых не превышает [math]\varepsilon [/math], т. е. [math]N_\varepsilon (x) = \{y \in X | D(x, y) \le \varepsilon\}[/math]. Тогда точка [math]y[/math] достижима из точки [math]x[/math], если существует последовательность точек [math]x^{(1)}=x, x^{(2)},... , x^{(p-1)}, x^{(p)}=y[/math], для которой выполнено:

[math] \begin{align} x^{(i+1)} \in N_\varepsilon (x^{(i)}), i=1,... ,p-1 \\ \mid N_\varepsilon (x^{(i)}) \mid \ge MinPts, i=1,... ,p-1 \end{align} [/math]

Здесь значение [math]MinPts[/math] задаётся пользователем и регулирует порог «шума». Согласно второму условию, у точек, находящихся внутри кластера, должно быть не менее [math]MinPts \ \varepsilon[/math] -соседей. Такие точки называются «ядрами». Остальные точки разделяются на граничные (имеющие менее [math]MinPts \ \varepsilon [/math] -cоседей, но достижимые из какого-либо «ядра») и шумовые. Две точки связны, если существует «ядро», из которого они обе достижимы. При такой постановке задачи, под кластером понимается максимальное связное подмножество множества [math]X[/math] . Точки, не попавшие в какой-либо кластер (не принадлежащие [math]\varepsilon[/math] -окрестности какого-либо «ядра»), относятся к классу «шум».

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм DBSCAN использует пространственную структуру данных для определения соседних объектов. Это может быть R*-дерево или k-d дерево. Такие структуры данных позволяют найти все объекты в пределах определенного расстояния от текущего объекта. Также для построения этих деревьев нужно уметь находить расстояние между объектами [math]\rho(u,v)[/math], в, это расстояние можно вводить разными способами. Например, если [math]\rho(u,v)[/math] - метрика в евклидовом пространстве, [math]u=(u_1,...,u_n)[/math] и [math](v_1,...,v_n)[/math], то расстояние вычисляется следующим образом: [math]\rho(u,v)=\sqrt{(u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+...+(u_n-v_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n(u_k-v_k)^2}[/math]

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Последовательная реализация алгоритма может быть представлена следующим псевдокодом:

[math]DBSCAN(D, \varepsilon, MinPts)[/math]
//Изначально все объекты в [math]D[/math]не кластеризованы
   [math]FORALL[/math]  objects  [math]d[/math] in [math]D\  DO[/math]
      [math]IF\  d[/math] is unclassified
        call function [math]expand\_cluster[/math] to construct a cluster wrt. [math]\varepsilon[/math] and [math]MinPts[/math] containing [math]d[/math]

[math]FUNCTION\ expand\_cluster(d,D,\varepsilon, MinPts):[/math]
   [math]retrive\_\varepsilon neighborhood(d, \varepsilon)[/math];
   [math]IF \mid N_{\varepsilon}(d) \mid \lt  MinPts[/math] //т.е. [math]d[/math] - не ядровой объект
      mark [math]d[/math] as [math]noise[/math]  and [math]RETURN[/math];
   [math]ELSE[/math]//т.е. [math]d[/math] - ядровой объект
      select a new cluster-id and mark all objects in [math]N_{\varepsilon}(d)[/math] with this current [math]cluster-id[/math]; 
      push all objects from [math]N_{\varepsilon}(d)[/math]\[math](d)[/math] onto the stack seeds;
      [math]WHILE\ NOT[/math] seeds.empty() [math]DO[/math] 
        [math]currentObject[/math] := seeds.top();
        seeds.pop();
        [math]retrive\_\varepsilon neighborhood(currentObject, \varepsilon)[/math];
        [math]IF \mid N_{\varepsilon}(currentObjects) \mid \ge MinPts[/math]
          select all objects in [math]N_{\varepsilon}(currentObject)[/math] not yet classified or marked as [math]noise[/math],
          push the unclassified objects onto seeds and mark all of these objects with current [math]cluster-id[/math];
    [math]RETURN[/math]

[math]FUNCTION\ retrive\_\varepsilon neighborhood(d, \varepsilon)[/math] //функция возвращает соседей на основе структуры R*-дерево
  return [math]\{ d' \ | \ \forall d' \in D: \rho(d, d') \lt  \varepsilon \}[/math]

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для того, чтобы алгоритм мог кластеризовать все объекты, необходимо пройти по каждому из них хотя бы один раз. Если использовать специальную пространственную структуру данных для определения соседних объектов со сложностью [math]O(n)[/math], то сложность алгоритма [math]O(nlogn)[/math]. Если не использовать пространственную структуру данных, то в худшем случае алгоритм будет иметь сложность [math]O(n^2)[/math], так как придется считать полную матрицу расстояний между объектами.