Участник:Маркова Екатерина/Построение матрицы Адамара

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

1.2 Математическое описание алгоритма

Пусть [math]H_N[/math] [math]-[/math] матрица Адамара порядка [math]N[/math] и [math]-H_N[/math] [math]-[/math] матрица с противоположными элементами. Тогда матрица [math]H_{2N}[/math] получается следующим образом: [math]H_{2N} = \begin{bmatrix} H_N & H_N \\ H_N & -H_N \end{bmatrix} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро рекурсивного алгоритма состоит из [math]\;\frac{N^2}{2}\;[/math] переносов значений в повторяющиеся блоки матрицы и [math]\frac{N^2}{4}[/math] переносов со сменой знака (умножением на [math]-1[/math]).

1.4 Макроструктура алгоритма

Алгоритм не использует в качестве составных частей другие алгоритмы. Как это было описано в вычислительном ядре, в пустые блоки дублируются со сменой или без смены знака значения первого блока матрицы.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

В описанном виде алгоритм представляет из себя примитивное дублирование элементов матрицы, полученной на предыдущем этапе, в пустующие блоки новой матрицы.

Сначала заполняется правый верхний блок матрицы [math]H[/math]

[math]H_{ij} = H_{i(j - \frac{N}{2})}[/math], где [math]i = 1..\frac{N}{2}[/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math];

затем левый нижний блок

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})j}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N[/math], [math]j = 1.. \frac{N}{2}[/math].

Последним заполняется нижний правый блок матрицы

[math]H_{ij} = H_{(i-\frac{N}{2})(j-\frac{N}{2})}[/math], где [math]i = \frac{N}{2}+1..N [/math], [math]j = \frac{N}{2}+1..N[/math].

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Для заполнения трех пустых блоков равного размера матрицы [math]H[/math] размера [math]N\times N[/math] необходимо [math]\frac{3N^2}{4}[/math]. Из чего можно сделать вывод, что рекурсивный метод построения матрицы Адамара является алгоритмом с квадратичной сложностью.

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: [math]N[/math] - размерность матрицы.

Выходные данные: матрица размером [math]N\times N[/math].

Объем выходных данных: [math] N^2[/math].

1.10 Свойства алгоритма

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

Нахождение матрицы Адамара доступно в среде MATLAB и реализовано через функцию hadamard(n).[1]

На языке Java реализован класс Hadamard не входящий в стандарт языка. С кодом можно ознакомиться по ссылке[2].