Участник:Макарова Алёна/Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений GMRES (обобщенный метод минимальных невязок)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод минимальных невязок представляет собой итерационный метод для численного решения несимметричной системы линейных уравнений. Метод приближает решение вектором в подпространстве Крылова с минимальной невязкой. Чтобы найти этот вектор используется итерация Арнольди.

Впервые метод минимальных невязок был описан в книге Марчука и Кузнецова "Итерационные методы и квадратичные функционалы" и представлял собой геометрическую реализацию метода минимальных невязок.

Алгебраическая реализация метода минимальных невязок была предложена Саадом и Шульцем в 1986 году . С их подачи за методом закрепилась аббревиатура GMRES (обобщенный метод минимальных невязок).

1.2 Математическое описание алгоритма

Для решения системы [math]Ax = b[/math] с невырожденной матрицей [math]A[/math], выбирается начальное приближение [math]x_0[/math], затем решается редуцированная система [math]Au = r_0[/math], где [math]r_0 = b - Ax_0, x = x_0 + u[/math]. Подпространства Крылова строятся для редуцированной системы (в предположении, что [math]r_0 \neq 0[/math]).

Пусть [math]x_i = x_0 + y[/math], где [math] y \in K_i [/math]. Невязка имеет вид [math]r_i = r_0 - Ay[/math], а её длина минимальна, в силу теоремы Пифагора, в том и только том случае, когда [math] r_i \perp AK_i [/math].

Таким образом, для реализации [math]i[/math]-го шага требуется опустить перпендикуляр из вектора [math]r_0[/math] на подпространство [math]AK_i[/math]. Проще всего это сделать, если в данном подпространстве уже найден ортогональный базис.

Геометрическая реализация метода минимальных невязок заключается в построении последовательности векторов [math]q_1, q_2,...[/math] таким образом, что [math]q_1, q_2,.., q_i[/math] дают базис в подпространстве Крылова [math]K_i[/math] и при этом вектора [math]p_1 = Aq_1, ..., p_i = Aq_i[/math] образуют ортогональный базис в подпространстве [math]AK_i[/math]. Вектор [math]q_{i+1} \notin K_i[/math] должен обладать следующими свойствами: [math]q_{i+1} \in K_{i+1}, p_{i+1} = Aq_{i+1} \perp AK_i[/math].

Его можно получить с помощью процесса ортогонализации, применённого к вектору [math]p = Aq[/math], где [math]q = Aq_i[/math]. В геометрической реализации необходимо хранить две системы векторов: [math]q_1, ..., q_i[/math] и [math]p_1, ..., p_i[/math].

Алгебраическая реализация метода минимальных невязок использует лишь одну систему векторов, образующих ортогональные базисы в подпространствах [math]K_i[/math].

[math]q_1 = r_0/||r_0||_2[/math]. Чтобы получить ортонормированный базис [math]q_1, ..., q_{i+1}[/math] в [math]K_{i+1} = K_{i+1}(r_0, A)[/math], проводим ортогонализацию вектора [math]Aq_i[/math] к векторам [math]q_1, ..., q_i[/math]. Если [math]Q_i \equiv [q_1, ..., q_i] \in C^{nxi}[/math], то получим [math]AQ_i = Q_{i+1}H_i, H_i = [][/math], где [math]H_i[/math] - верхняя хессенбергова матрица порядка [math]i[/math].