Участник:Danyanya/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без переортогонализации)

Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без переортогонализации)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(kn^2)[/math]
Объём входных данных	[math]\frac{n(n + 1)}{2}[/math]
Объём выходных данных	[math]k(n + 1)[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(k)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n^2)[/math]

Основные авторы описания: Д.Р.Слюсарь

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша поиска собственных значений был опубликован Корнелием Ланцошем в 1950 году [1]. Этот итерационный алгоритм применим только к эрмитовым матрицам [math]A[/math]. Метод позволяет за [math]k[/math] итераций вычислять [math]k[/math]-ое приближение собственных значений и собственных векторов исходной матрицы [math]A[/math].

В данной статье рассмотрен упрощенный вариант алгоритма Ланцоша, подразумевающие отсутствие влияния ошибок округления на вычислительный процесс.

Данный алгоритм является неустойчивым, вследствие чего на практике применяется модифицированный алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией.

1.2 Математическое описание алгоритма

На вход алгоритма подается эрмитова матрица [math]A = A^\dagger[/math] (в вещественном случае - симметрическая) ,

[math] A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1\ n-1} & a_{1\ n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2\ n-1} & a_{2\ n} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3\ n-1} & a_{3\ n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{1\ n-1} & \cdots & \cdots & a_{n-2\ n-1} & a_{n-1\ n-1} & a_{n-1\ n} \\ a_{1\ n} & \cdots & \cdots & a_{n-2\ n} & a_{n-1\ n} & a_{n\ n} \\ \end{pmatrix} [/math]

Алгоритм Ланцоша соединяет в себя метод Ланцоша построения крыловского подпространства с процедурой Релея-Ритца. Иными словами, из оргонормированных векторов Ланцоша [??] на каждой итерации строится матрица [math]Q_k = [q_1, q_2, \dots, q_k][/math] размерности [math]n \times k[/math]. В качестве приближенных собственных значений матрицы [math]A[/math] берутся числа Ритца, т.е. собственные значения симметричной трехдиагональной матрицы [math]T_k = Q^T_k A Q[/math]:

[math] T_k = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & 0 & \dots & 0 \\ \beta_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \dots & 0 \\ 0 & \beta_2 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \beta_{k-1} \\ 0 & \dots & \dots & \beta_{k-1} & \alpha_k \end{pmatrix} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром на каждой итерации является вычисление произведения исходной матрицы [math]A[/math] на вектор [math]q_i[/math] с предыдущей итерации

[math]z = Aq_i[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Макрооперациями в алгоритме являются:

• Процедура иттеративного построения трехдиагональной симметричной матрицы, включающая:
  • умножение матрицы на вектор;
  • скалярное произведение векторов;
  • деление (умножение) вектора на вещественное число;
• Вычисление собственного значение и собственных векторов полученной в ходе работы трехдиагональной симметричной матрицы.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Исходные данные: симметричная матрица [math]A[/math], случайный вектор [math]b[/math].

Вычисляемые данные: собственные вектора матрицы [math]T_k[/math] являющиеся столбцами матрицы [math]Q_k V[/math], и матрица собственных значений [math]\Lambda[/math], где [math]V, \Lambda[/math] из спектрального разложения [math]T_k = V\Lambda V^T[/math].

Алгоритм на псевдокоде:

[math] \begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & i = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_i\\ & \alpha_i = q^T_i z\\ & z = z - \alpha_i q_i - \beta_{i-1}q_{i-1}\\ & \beta_i = \|z\|_2\\ & If \; \beta_i == 0 \; then \\ & \; \; \; \; exit\\ & else \\ & \; \; \; \; q_{i+1} = z / \beta_i \\ end \; & for \end{align} [/math]

После этого вычисляются собственные значения и собственные вектора симметричной трехдиагональной матрицы [math]T_k[/math] наиболее удобным образом.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: симметричная вещественная матрица [math]A[/math], случайный вектор [math]b[/math], число итераций [math]k[/math]

Объём входных данных: [math]n * (n + 1) + 1 [/math]

Выходные данные: вектор собственных значений [math]\Lambda[/math], матрица [math]E[/math] ( элементы [math]e_{pq}[/math] )

Объём выходных данных: [math]k * (n + 1)[/math]

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

1. The IETL Project [2]

2. MatLab

3 Литература

1. Алгоритм Ланцоша (Википедия) [3]

2. Деммель Д. Вычислительная линейная алгебра/Пер. с англ. ХД Икрамова. – 2001.