Участник:Blizn/Хранение ненулевых элементов разреженной матрицы. Умножение разреженной матрицы на вектор.

Умножение разреженной матрицы на вектор
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]nz[/math]
Объём входных данных	[math]2nz+m+n+1[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Выполнила: И.В. Близнякова (611 группа).

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Разрежённая матрица — это матрица с преимущественно нулевыми элементами. В противном случае, если большая часть элементов матрицы ненулевые, матрица считается плотной.

Среди специалистов нет единства в определении того, какое именно количество ненулевых элементов делает матрицу разрежённой. Разные авторы предлагают различные варианты. Для матрицы порядка n число ненулевых элементов:

• есть [math]O(n)[/math]. Такое определение подходит разве что для теоретического анализа асимптотических свойств матричных алгоритмов;
• в каждой строке не превышает 10 в типичном случае;
• ограничено [math]n^{1+\gamma}[/math], где [math]\gamma \lt 1[/math].
• таково, что для данного алгоритма и вычислительной системы имеет смысл извлекать выгоду из наличия в ней нулей.

1.1.1 Хранение разреженной матрицы

1.1.1.1 Формат RR(C)O

Рассмотрим сначала формат RR(C)O. Сокращенное название данного формата происходит от английского словосочетания "Row - wise Representation Complete and Ordered" (строчное представление, полное и упорядоченное). В данном формате вместо одного двумерного массива, используются три одномерных. Значения ненулевых элементов матрицы и соответствующие им столбцовые индексы хранятся в этом формате по строкам в двух массивах [math]AN[/math] и [math]JA[/math]. Массив указателей [math]IA[/math], используется для ссылки на компоненты массивов [math]AN[/math] и [math]JA[/math], с которых начинается описание очередной строки. Последняя компонента массива [math]IA[/math] содержит указатель первой свободной компоненты в массивах [math]AN[/math] и [math]JA[/math], т.е. равна числу ненулевых элементов матрицы, увеличенному на единицу. Здесь уместно привести пример.

Рассмотрим матрицу [math]A[/math]:

[math]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math],

тогда ее представление в формате RR(C)O будет иметь вид:

  IA = [ 1 2 4 4 5 6 ]
  JA = [ 4 1 3 2 3 ]
  AN = [ 2 1 3 6 4 ]

Т.е. массив [math]AN[/math] содержит все не нулевые элементы исходной матрицы [math]A[/math], массив [math]JA[/math] номер столбца в котором находится соответствующий элемент из [math]AN[/math] и наконец массив [math]IA[/math] содержит номер с которого начинается описание элементов в массивах [math]JA[/math] и [math]AN[/math]. Таким образом информация об элементах 2-ой строки матрицы хранится в элементах с [math]IA[2] = 2[/math] по [math]IA[3] - 1 = 3[/math] включительно массивов [math]JA[/math] и [math]AN[/math]. Можно обратить внимание, что [math]IA[3] = IA[4] = 4[/math], а это означает, что 3-я строка матрицы [math]A[/math] нулевая.

В общем случае описание [math]r[/math]-й строки матрицы A хранится в компонентах с [math]IA[r][/math] до [math]IA[r + 1] - 1[/math] включительно массивов [math]AN[/math] и [math]JA[/math]. Если [math]IA[r + 1] = IA[r][/math], то это означает, что [math]r[/math]-я строка нулевая. Количество элементов в массиве [math]IA[/math] на единицу больше, чем число строк исходной матрицы, а количество элементов в массивах [math]JA[/math] и [math]AN[/math] равно числу ненулевых элементов исходной матрицы.

Данный способ представления называют полным, поскольку представлена вся матрица [math]A[/math], упорядоченным, поскольку элементы каждой строки матрицы [math]A[/math] хранятся в соответствии с возрастанием столбцовых индексов, и строчным, поскольку информация о матрице [math]A[/math] указывается по строкам.

Массивы [math]IA[/math] и [math]JA[/math] представляют портрет (структуру) матрицы [math]A[/math], задаваемый как множество списков смежности ассоциированного с [math]A[/math] графа. Если алгоритм, реализующий какую-либо операцию над разреженными матрицами, разбит на этапы символической обработки, на котором определяется портрет результирующей матрицы, и численной обработки, на котором определяются значения элементов результирующей матрицы, то массивы [math]IA[/math] и [math]JA[/math] заполняются на первом этапе, а массив [math]AN[/math] - на втором.

1.1.1.2 Формат RR(C)U

Рассмотрим теперь формат RR(C)U.

Сокращенное название данного формата происходит от английского словосочетания "Row - wise Representation Complete and Unordered" (строчное представление, полное, но неупорядоченное). Формат RR(C)U отличается от RR(C)O тем, что в данном случае соблюдается упорядоченность строк, но внутри каждой строки элементы исходных матриц могут храниться в произвольном порядке. Для матрицы [math]A[/math] нашего примера вполне можно было бы использовать и строчное представление, полное, но неупорядоченное такое:

  IA = [ 1 2 4 4 5 6 ]
  JA = [ 4 3 1 2 3 ]
  AN = [ 2 1 3 6 4 ]

Такие неупорядоченные представления могут быть очень удобны в практических вычислениях. Результаты большинства матричных операций получаются неупорядоченными, а их упорядочение стоило бы значительных затрат машинного времени. В то же время, за немногими исключениями, алгоритмы для разреженных матриц не требуют, чтобы их представления были упорядоченными.

1.1.1.3 Замечания

Несколько замечаний по поводу рассмотренных форматов представления:

1. Очевидно, что представление матрицы в формате RR(C)O так же является и представлением в формате RR(C)U, но не наоборот.
2. Из представления матрицы в формате RR(C) нельзя получить информацию о точном количестве столбцов исходной матрицы.
3. Целесообразно (в вопросе экономии памяти) использовать представления RR(C) в случае, если матрица содержит значительное число нулевых элементов.

1.1.2 Умножение разреженной матрицы на вектор

Умножение разреженной матрицы на вектор - важным приложением этих алгоритмов является вычисление векторов Ланцоша, необходимое при итерационном решении линейных уравнений методом сопряженных градиентов, а также при вычислении собственных значений и собственных векторов матрицы. Достоинство этих процедур, с вычислительной точки зрения, состоит в том, что единственная требуемая матричная операция - это повторное умножение матрицы на последовательность заполненных векторов; сама матрица не меняется.

Мы рассмотрим умножение разреженной матрицы общего вида, хранимой в форме RR(C)U посредством массивов [math]IA[/math], [math]JA[/math], [math]AN[/math] на заполненный вектор-столбец.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: разреженная матрица общего вида [math]A[/math] с элементами [math]a_{ij}[/math], [math]i = 1,...,n[/math] и [math]j = 1,...,m[/math]. Заполненный вектор-столбец [math]b[/math] с элементами [math]b_{j}[/math], [math]j =1,...,m[/math]. Вычисляемые данные: