Уравнение Пуассона, решение дискретным преобразованием Фурье

Основные авторы описания: В.М.Степаненко, Е.В.Мортиков

1 Описание свойств и структуры алгоритма

1.1 Общее описание задачи

Уравнение Пуассона для многомерного пространства имеет вид:

$$\begin{equation} \label{eq:poisson} \sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2}=f,~\mathbf{x}\in D, \end{equation}$$

где $D \in \mathbb{R}^N$ - область определения решения $\phi(\mathbf{x})$, $\mathbf{x}=(x_1,...,x_N)^T$ - вектор независимых переменных. Уравнение Пуассона дополняется граничными условиями:

$$\begin{equation} B(\phi)=F,~ \text{на}~ \mathbf{x}\in \Gamma(D), \end{equation}$$

где $\Gamma(D)$ - граница области $D$, a $B(\phi)$ - оператор, определяющий граничные условия. $B(\phi)=\phi$ соответствует граничным условиям Дирихле, $B(\phi)=\partial\phi/\partial n$ ($\mathbf{n}$ - внешняя нормаль к границе $\Gamma(D)$) - условиям Неймана. Иногда задают также смешанное граничное условие: $B(\phi)=С\phi+\partial\phi/\partial n$ ($C$ - константа). Встречаются также так называемые "периодические граничные условия", при которых задача ставится для бесконечной области, но предполагается периодичность решения по подмножеству переменных из $\mathbf{x}$.

Уравнение Пуассона возникает во многих задачах математической физики, например, в электростатике (в этом случае $\phi$ - потенциал электрической силы) и гидродинамике ($\phi$ - давление жидкости или газа); при этом $N=2,3$ для плоской и объемной задач, соответственно.

Решение уравнения Пуассона для произвольной правой части и неоднородных граничных условий в аналитическом виде не может быть получено, поэтому в большинстве приложений оно находится численно. Наиболее распространенная дискретизация уравнения имеет вид

$$\begin{equation} \sum_{i=1}^{N}\frac{\phi_{k_1,...,k_i+1,...,k_N}-2\phi_{k_1,...,k_i,...,k_N}+\phi_{k_1,...,k_i-1,...,k_N}}{\Delta x_i^2}=f_{k_1,...,k_N},~(k_1,...,k_N) \in D_N. \end{equation}$$

Здесь вторые производные заменены центральными разностями второго порядка точности, а решение ищется на дискретном множестве точек $N$-мерного пространства, $D_N$. Конечными разностями аппроксимируются при этом также граничные условия.

1.2 Математическое описание

В настоящей статье мы рассмотрим конечно-разностную схему для наиболее часто встречающейся задачи решения уравнения Пуассона в трехмерном пространстве:

$$\begin{equation} \label{eq:poisdiscr} \frac{\phi_{i+1,j,k}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i-1,j,k}}{ \Delta x^2} + \frac{\phi_{i,j+1,k}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i,j-1,k}}{ \Delta y^2} + \frac{\phi_{i,j,k+1}-2\phi_{i,j,k}+\phi_{i,j,k-1}}{ \Delta z^2} = f_{i,j,k},~(i,j,k) \in D_h, \end{equation}$$

где $D_h=\{0:N_x-1\}\times\{0:N_y-1\}\times\{0:N_z-1\}$ - параллелепипед в сеточной области. В качестве граничных условий для простоты примем так называемые троякопериодические граничные условия

$$\begin{align} \phi_{0,j,k}=\phi_{N_x,j,k},\\ \phi_{i,0,k}=\phi_{i,N_y,k},\\ \phi_{i,j,0}=\phi_{i,j,N_z}. \end{align}$$

Периодические граничные условия удовлетворяются "автоматически", если представить решение в виде стандартного дискретного преобразования Фурье:

$$\begin{equation} \label{eq:fourier} \phi_{i,j,k}=\frac{1}{N_x N_y N_z}\sum_{l=0}^{N_x-1}\sum_{m=0}^{N_y-1}\sum_{n=0}^{N_z-1}\Phi_{l,m,n}e^{2\pi i \left(\frac{il}{N_x}+\frac{jm}{N_y}+\frac{kn}{N_z}\right)}. \end{equation}$$

Аналогичное разложение применяется также к правой части уравнения, $f_{i,j,k}$. Решение $\ref{eq:poisdiscr}$ преобразованием Фурье удобно тем, что базисные функции разложения $\ref{eq:fourier}$ являются собственными функциями дискретного оператора Лапласа. А именно, подставляя разложение Фурье неизвестной функции и правой части в исходное уравнение, получаем: