Участник:Палионная/Моделирование надежности сложных модифицируемых информационных систем

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

В данной задаче рассматривается байесовская рекуррентная модель роста надежности сложных модифицируемых информационных систем. Так как любая впервые созданная сложная информационная система не обладает требуемой надежностью, она подвергается различным модификациям, целью которых является устранение дефектов, препятствующих правильному функционированию системы. Надежность системы зависит от соотношения параметров, интерпретируемых в теории надежности как показатели <<дефективности>> и <<эффективности>> средства, исправляющего ошибки в системе. При использовании байесовских моделей применительно к задачам теории надежности предполагается, что основные параметры системы не являются заданными, а известны только их априорные распределения. В частности данных алгоритм производит вычисления предельной надежности группы однотипных сложных модифицируемых информационных систем для случая параболического распределения параметров.

1.2 Математическое описание алгоритма

Для формализации понятия надежности системы, будем характеризовать ее в каждый момент времени t параметром p(t), при этом время считаем непрерывным. Так как система подвергается модификациям в случайные моменты времени : [math] 0=Y_0\le~Y_1~\le Y_2~\le\ldots [/math], параметр [math]p(t)[/math] изменяется, принимая соответственно значения [math]p(t) = p(Y_j) = p_j[/math] при [math]Y_j~\le~t\lt ~ Y_{j+1}[/math] (предполагается, что траектории процесса [math]p(t)[/math] непрерывны справа, а модификации происходят мгновенно). Причем при модификациях параметр надежности может как увеличиваться, так и уменьшаться из-за некачественных модификаций.

К числу математических моделей, описывающих изменение надежности модифицируемых информационных систем, относятся рекуррентные модели роста надежности. Рассмотрим, в частности, дискретную экспоненциальную модель, которая определяется следующим образом: [math]p_{j+1} = \eta_{j+1}p_j + \theta_{j+1}(1-p_j).[/math]

Здесь [math]\{(\theta_j, \eta_j)\}[/math], [math]j\ge1[/math], -- последовательность независимых одинаково распределенных двумерных случайных векторов таких, что [math]0 \lt \eta_1 \lt 1[/math]; [math]0 \lt \theta_1 \lt 1[/math] почти наверное. Начальная надежность [math]p_0[/math] считается заданной, случайные величины [math]\eta_j[/math] (параметры <<дефективности>>) и [math]\theta_j[/math] (параметры <<эффективности>>) описывают соответственно возможное уменьшение и повышение надежности.

Обозначим [math]\lambda = 1 - {E}\theta_j[/math], [math]\mu = {E}\eta_j[/math]. В книге \cite{KS2006} доказано, что при условии [math]\lambda+\mu\neq1[/math] [math] p=\lim_{j\to\infty}E p_j = \frac{\mu}{\lambda+\mu}. [/math] Величина [math]p[/math] характеризует асимптотическое значение надежности системы в рамках некоторой рекуррентной модели, задаваемой набором [math]\{(\theta_j, \eta_j)\}[/math].

В рамках байесовского подхода в постановке задач теории надежности можно рассмотреть более сложную ситуацию, где основные параметры системы [math]\lambda [/math] и [math]\mu [/math] предполагаются случайными. В таком случае наиболее естественной и удобной для изучения характеристикой является усредненное значение предельной надежности, то есть [math] p_{average} = Ep = E\frac{\mu}{\lambda+\mu}, [/math] где усреднение ведется по совместному распределению случайных величин [math]\lambda [/math] и [math]\mu [/math].

Так как случайные величины [math]\eta_1 [/math] и [math]\theta_1 [/math] удовлетворяют ограничениям [math]0 \lt \eta_1 \lt 1, 0 \lt \theta_1 \lt 1 [/math], средние значения [math]\lambda [/math] и [math]\mu [/math] величин [math]1 - E\theta_j [/math]и [math]E\eta_j [/math] соответственно также находятся на отрезке [0,1]. В частном случае, рассмотрим независимые случайные параметры [math]\lambda [/math] и [math]\mu [/math], имеющие параболические распределения на некоторых (вообще говоря, разных) отрезках, являющихся подмножествами отрезка [0,1].

Итак, пусть средний параметр <<эффективности>> [math]\lambda [/math] и средний параметр <<дефективности>> [math]\mu [/math] независимы и имеют параболическое распределение [math]P(a_\lambda, b_\lambda) [/math], [math]0\le a_\lambda\lt b_\lambda\le1 [/math], и [math]P(a_\mu, b_\mu) [/math], [math]0\le a_\mu\lt b_\mu\le1 [/math], соответственно.

Для плотности [math]f_\xi(x) [/math] некоторой случайной величины [math]\xi [/math], имеющей параболическое распределение с параметрами [math](a_\xi, b_\xi) [/math], справедливо:

[math]
f_\xi(x) = \frac{6(x-a_\xi)(b_\xi-x)}{(b_\xi-a_\xi)^3},\ \ \ \ x\in[a_\xi, b_\xi].
 [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Пусть рассматривается изменение надежности группы однотипных системы на интервале времени [0, T].

1.Для каждой системы моделируем модификации, происходящие в случайные моменты времени [math]t_j: \sum_{j}t_j \lt = T[/math], следующим образом:

a) Генерируем реализацию случайных величин [math]\lambda [/math], [math]\mu [/math] с параболическим распределением на заданных интервалах [math][a_\lambda, b_\lambda], [a_\mu, b_\mu][/math] соответственно. Задаем начальную надежность системы, как реализацию случайной величины с равномерным на [0,1] распределением.

б) Пока [math] \sum_{j}t_j \lt = T [/math], моделируем поступления модификаций в систему в момент времени [math]t_j[/math]: генерируем реализацию случайных величин [math]\theta_j [/math], [math]\eta_j [/math] таких, что [math]\lambda = 1 - {E}\theta_j[/math], [math]\mu = {E}\eta_j[/math], изменяем надежность системы по формуле [math] p_{j+1} = \eta_{j+1}p_j + \theta_{j+1}(1-p_j).[/math]

2. Вычисляем усредненную надежность группы однотипных систем после всех модификаций.

1.7 Информационный граф

Это очень важный раздел описания. Именно здесь можно показать (увидеть) как устроена параллельная структура алгоритма, для чего приводится описание и изображение его информационного графа (графа алгоритма ). Для рисунков с изображением графа будут составлены рекомендации по их формированию, чтобы все информационные графы, внесенные в энциклопедию, можно было бы воспринимать и интерпретировать одинаково. Дополнительно можно привести полное параметрическое описание графа в терминах покрывающих функций .

Интересных вариантов для отражения информационной структуры алгоритмов много. Для каких-то алгоритмов нужно показать максимально подробную структуру, а иногда важнее макроструктура. Много информации несут разного рода проекции информационного графа, выделяя его регулярные составляющие и одновременно скрывая несущественные детали. Иногда оказывается полезным показать последовательность в изменении графа при изменении значений внешних переменных (например, размеров матриц): мы часто ожидаем "подобное" изменение информационного графа, но это изменение не всегда очевидно на практике.

В целом, задача изображения графа алгоритма весьма нетривиальна. Начнем с того, что это потенциально бесконечный граф, число вершин и дуг которого определяется значениями внешних переменных, а они могут быть весьма и весьма велики. В такой ситуации, как правило, спасают упомянутые выше соображения подобия, делающие графы для разных значений внешних переменных "похожими": почти всегда достаточно привести лишь один граф небольшого размера, добавив, что графы для остальных значений будут устроены "точно также". На практике, увы, не всегда все так просто, и здесь нужно быть аккуратным.

Далее, граф алгоритма - это потенциально многомерный объект. Наиболее естественная система координат для размещения вершин и дуг информационного графа опирается на структуру вложенности циклов в реализации алгоритма. Если глубина вложенности циклов не превышает трех, то и граф размещается в привычном трехмерном пространстве, однако для более сложных циклических конструкций с глубиной вложенности 4 и больше необходимы специальные методы представления и изображения графов.

В данном разделе AlgoWiki могут использоваться многие интересные возможности, которые еще подлежат обсуждению: возможность повернуть граф при его отображении на экране компьютера для выбора наиболее удобного угла обзора, разметка вершин по типу соответствующим им операций, отражение ярусно-параллельной формы графа и другие. Но в любом случае нужно не забывать главную задачу данного раздела - показать информационную структуру алгоритма так, чтобы стали понятны все его ключевые особенности, особенности параллельной структуры, особенности множеств дуг, участки регулярности и, напротив, участки с недерминированной структурой, зависящей от входных данных.

На рис.1 показана информационная структура алгоритма умножения матриц, на рис.2 - информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей.

Рис.1. Информационная структура алгоритма умножения матриц

Рис.2. Информационная структура одного из вариантов алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений с блочно-двухдиагональной матрицей

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Здесь приводится оценка параллельной сложности алгоритма: числа шагов, за которое можно выполнить данный алгоритм в предположении доступности неограниченного числа необходимых процессоров (функциональных устройств, вычислительных узлов, ядер и т.п.). Параллельная сложность алгоритма понимается как высота канонической ярусно-параллельной формы . Необходимо указать, в терминах каких операций дается оценка. Необходимо описать сбалансированность параллельных шагов по числу и типу операций, что определяется шириной ярусов канонической ярусно-параллельной формы и составом операций на ярусах.

Параллелизм в алгоритме часто имеет естественную иерархическую структуру. Этот факт очень полезен на практике, и его необходимо отразить в описании. Как правило, подобная иерархическая структура параллелизма хорошо отражается в последовательной реализации алгоритма через циклический профиль результирующей программы (конечно же, с учетом графа вызовов), поэтому циклический профиль (п.1.5) вполне может быть использован и для отражения ресурса параллелизма.

Для описания ресурса параллелизма алгоритма (ресурса параллелизма информационного графа) необходимо указать ключевые параллельные ветви в терминах конечного и массового параллелизма. Далеко не всегда ресурс параллелизма выражается просто, например, через координатный параллелизм или, что то же самое, через независимость итераций некоторых циклов (да-да-да, циклы - это понятие, возникающее лишь на этапе реализации, но здесь все так связано… В данном случае, координатный параллелизм означает, что информационно независимые вершины лежат на гиперплоскостях, перпендикулярных одной из координатных осей). С этой точки зрения, не менее важен и ресурс скошенного параллелизма. В отличие от координатного параллелизма, скошенный параллелизм намного сложнее использовать на практике, но знать о нем необходимо, поскольку иногда других вариантов и не остается: нужно оценить потенциал алгоритма, и лишь после этого, взвесив все альтернативы, принимать решение о конкретной параллельной реализации. Хорошей иллюстрацией может служить алгоритм, структура которого показана на рис.2: координатного параллелизма нет, но есть параллелизм скошенный, использование которого снижает сложность алгоритма с [math]n\times m[/math] в последовательном случае до [math](n+m-1)[/math] в параллельном варианте.

Рассмотрим алгоритмы, последовательная сложность которых уже оценивалась в п.1.6. Параллельная сложность алгоритма суммирования элементов вектора сдваиванием равна [math]\log_2n[/math], причем число операций на каждом ярусе убывает с [math]n/2[/math] до [math]1[/math]. Параллельная сложность быстрого преобразования Фурье (базовый алгоритм Кули-Тьюки) для векторов с длиной, равной степени двойки - [math]\log_2n[/math]. Параллельная сложность базового алгоритма разложения Холецкого (точечный вариант для плотной симметричной и положительно-определенной матрицы) это [math]n[/math] шагов для вычислений квадратного корня, [math](n-1)[/math] шагов для операций деления и [math](n-1)[/math] шагов для операций умножения и сложения.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные параметры: количество объектов в рассматриваемой группе, временной интервал, интервалы параболического распределения для величин [math]\lambda, \mu.[/math] Выходные параметры: усредненная надежность группы однотипных объектов.

1.10 Свойства алгоритма

Описываются прочие свойства алгоритма, на которые имеет смысл обратить внимание на этапе реализации. Как и ранее, никакой привязки к конкретной программно-аппаратной платформе не предполагается, однако вопросы реализации в проекте AlgoWiki всегда превалируют, и необходимость обсуждения каких-либо свойств алгоритмов определяется именно этим.

Весьма полезным является соотношение последовательной и параллельной сложности алгоритма. Оба понятия мы рассматривали ранее, но здесь делается акцент на том выигрыше, который теоретически может дать параллельная реализация алгоритма. Не менее важно описать и те сложности, которые могут возникнуть в процессе получения параллельной версии алгоритма.

Вычислительная мощность алгоритма равна отношению числа операций к суммарному объему входных и выходных данных. Она показывает, сколько операций приходится на единицу переданных данных. Несмотря на простоту данного понятия, это значение исключительно полезно на практике: чем выше вычислительная мощность, тем меньше накладных расходов вызывает перемещение данных для их обработки, например, на сопроцессоре, ускорителе или другом узле кластера. Например, вычислительная мощность скалярного произведения двух векторов равна всего лишь [math]1[/math], а вычислительная мощность алгоритма умножения двух квадратных матриц равна [math]2n/3[/math].

Вопрос первостепенной важности на последующем этапе реализации - это устойчивость алгоритма. Все, что касается различных сторон этого понятия, в частности, оценки устойчивости, должно быть описано в данном разделе.

Сбалансированность вычислительного процесса можно рассматривать с разных сторон. Здесь и сбалансированность типов операций, в частности, арифметических операций между собой (сложение, умножение, деление) или же арифметических операций по отношению к операциям обращения к памяти (чтение/запись). Здесь и сбалансированность операций между параллельными ветвями алгоритма. С одной стороны, балансировка нагрузки является необходимым условием эффективной реализации алгоритма. Вместе с этим, это очень непростая задача, и в описании должно быть отмечено явно, насколько алгоритм обладает этой особенностью. Если обеспечение сбалансированности не очевидно, желательно описать возможные пути решения этой задачи.

На практике важна детерминированность алгоритмов, под которой будем понимать постоянство структуры вычислительного процесса. С этой точки зрения, классическое умножение плотных матриц является детерминированным алгоритмом, поскольку его структура при фиксированном размере матриц никак не зависит от элементов входных матриц. Умножение разреженных матриц, когда матрица хранятся в одном из специальных форматов, свойством детерминированности уже не обладает: его свойства, например, степень локальности данных зависит от структуры разреженности входных матриц. Итерационный алгоритм с выходом по точности также не является детерминированным: число итераций, а значит и число операций, меняется в зависимости от входных данных. В этом же ряду стоит использование датчиков случайных чисел, меняющих вычислительный процесс для различных запусков программы. Причина выделения свойства детерминированности понятна: работать с детерминированным алгоритмом проще, поскольку один раз найденная структура и будет определять качество его реализации. Если детерминированность нарушается, то это должно быть здесь описано вместе с описанием того, как недетерминированность влияет на структуру вычислительного процесса.

Серьезной причиной недетерминированности работы параллельных программ является изменение порядка выполнения ассоциативных операций. Типичный пример - это использование глобальных MPI-операций на множестве параллельных процессов, например, суммирование элементов распределенного массива. Система времени исполнения MPI сама выбирает порядок выполнения операций, предполагая выполнение свойства ассоциативности, из-за чего ошибки округления меняются от запуска программы к запуску, внося изменения в конечный результат ее работы. Это очень серьезная проблема, которая сегодня встречается часто на системах с массовым параллелизмом и определяет отсутствие повторяемости результатов работы параллельных программ. Данная особенность характерна для второй части AlgoWiki, посвященной реализации алгоритмов, но вопрос очень важный, и соответствующие соображения, по возможности, должны быть отмечены и здесь.

Заметим, что, в некоторых случаях, недетерминированность в структуре алгоритмов можно "убрать" введением соответствующих макроопераций, после чего структура становится не только детерминированной, но и более понятной для восприятия. Подобное действие также следует отразить в данном разделе.

Степень исхода вершины информационного графа показывает, в скольких операциях ее результат будет использоваться в качестве аргумента. Если степень исхода вершины велика, то на этапе реализации алгоритма нужно позаботиться об эффективном доступе к результату ее работы. В этом смысле, особый интерес представляют рассылки данных, когда результат выполнения одной операции используется во многих других вершинах графа, причем число таких вершин растет с увеличением значения внешних переменных.

"Длинные" дуги в информационном графе говорят о потенциальных сложностях с размещением данных в иерархии памяти компьютера на этапе выполнения программы. С одной стороны, длина дуги зависит от выбора конкретной системы координат, в которой расположены вершины графа, а потому в другой системе координат они попросту могут исчезнуть (но не появится ли одновременно других длинных дуг?). А с другой стороны, вне зависимости от системы координат их присутствие может быть сигналом о необходимости длительного хранения данных на определенном уровне иерархии, что накладывает дополнительные ограничения на эффективность реализации алгоритма. Одной из причин возникновения длинных дуг являются рассылки скалярных величин по всем итерациям какого-либо цикла: в таком виде длинные дуги не вызывают каких-либо серьезных проблем на практике.

Для проектирования специализированных процессоров или реализации алгоритма на ПЛИС представляют интерес компактные укладки информационного графа , которые также имеет смысл привести в данном разделе.