Участник:ЕкатеринаКозырева/Алгоритм динамической иерархической кластеризации CHAMELEON

Алгоритм динамической иерархической кластеризации CHAMELEON
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(nm + n log n + m^2 log m)[/math]
Объём входных данных	[math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math]
Объём выходных данных	[math]n[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(n+ n log(n) + m^2 log (m) + m log(m))[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n)[/math]

Автор описания Е.А.Козырева

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм CHAMELEON был предложен в 1999 году тремя учеными из университета Миннесоты – George Karypis, Eui-Hong (Sam) Han и Vipin Kumar.

Предназначен для решения задач кластеризации. Кластеризация (или кластерный анализ) — это задача разбиения множества объектов на группы, называемые кластерами. Внутри каждой группы должны оказаться «похожие» объекты, а объекты разных группы должны быть как можно более отличны.

CHAMELEON - это агломеративный иерархический алгоритм кластеризации, ключевой особенностью которого является то, что он учитывает и взаимную связность, и сходство при определении наиболее похожей пары подкластеров, основываясь на динамической модели. Это означает, что в процессе кластеризации два кластера объединяются, только если их относительная взаимная связность и относительное взаимное сходство являются высокими по отношению к внутренней взаимосвязанности кластеров и близости элементов внутри кластеров. Кроме того, CHAMELEON использует подход для моделирования степени взаимосвязанности и близости между каждой парой кластеров, который учитывает внутренние характеристики самих кластеров. Таким образом, он может автоматически адаптироваться к внутренним характеристикам объединяемых кластеров.

CHAMELEON находит кластеры в наборе данных с помощью трехфазного алгоритма. На первой фазе происходит построение графа, путём добавления рёбер по принципу k ближайших соседей. На второй фазе CHAMELEON группирует полученные элементы в множество относительно небольших подграфов. Во время третьей фазы применяется агломеративный иерархический алгоритм кластеризации, с помощью которого находятся естесственные кластеры путем многократного объединения подграфов, полученных на прошлом этапе.

Рисунок 1. Общая структура алгоритма CHAMELEON

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• Множество из n точек [math]V= {v_{ij}}[/math] в метрическом пространстве, которое задано симметрической матрицей расстояний [math]A[/math] размера [math]n\times n[/math].
• [math]k[/math] - количество ближайших соседей для вершин, [math]k \in N, k \leq n[/math].
• [math]l[/math] - наименьшее число вершин, которое может содержать наибольший подграф на 2-м этапе, [math]l \in N, l \leq n[/math].

Обозначения:

• [math]G = (V, E)[/math] - граф, полученный путём соединения каждой точки с её [math]k[/math] ближайшими соседями.

• [math]K= \{K_{i}\}[/math] - разбиение множества [math]V[/math] на набор попарно непересекающихся связных подмножеств, полученное в результате выполнения второй фазы алгоритма.

• [math]G_{2} = (K, E_{2})[/math] - взвешенный граф, вершинами которого являются получившиеся подграфы, а ребрами - количество ребер исходного графа, соединяющих соответствующие подграфы.

• [math]C = \{C_{i}\}[/math] - итоговое разбиение множества вершин графа [math]G_{2}[/math] на набор кластеров.

Вспомогательные понятия

• [math]EC_{(C_{i},C_{j})}[/math] - абсолютная взаимная связность пары кластеров [math]C_{i}, C{j}[/math]. Определяется как сумма весов ребер, соединяющих вершины, принадлежащие [math]C{i}[/math] c вершинами из [math]C{j}[/math]. Внутренняя связность [math]EC_{(C_{i},C_{i})}[/math] вычисляется как сумма ребер, входящих в разделитель, разбивающий [math]C{i}[/math] на два равных подграфа.

• [math]RI_{(C_{i},C_{j})} = \frac{|EC_{(C_{i},C_{j})}|}{(|EC_{C_{i}}|+|EC_{C_{j}}|)/2}[/math] - относительная взаимная связность пары кластеров [math]C_{i}, C{j}[/math]

• [math]S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}[/math] - абсолютное взаимное сходство пары кластеров [math]C_{i}, C{j}[/math]. Подсчитывается как среднее сходство между соединенными вершинами, принадлежащими [math]C{i}[/math] и [math]C{j}[/math] соответственно. Соединения обусловлены разбиением общего графа, полученного на первом этапе алгоритма.

• [math] RC_{(C_{i},C_{j})}= \frac{S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}}{\frac{|C_{i}|}{|C_{i}+C_{j}|}*S_{EC_{(C_{i})}}+\frac{|C_{i}|}{|C_{i}+C_{j}|}*S_{EC_{(C_{j})}}}[/math] - относительное взаимное сходство пары кластеров [math]C_{i}, C{j}[/math]. Определяется как абсолютное сходство между этой парой кластеров, нормализованное с учетом их внутреннего сходства.

Первый этап

На первом этапе, согласно графо-ориентированному подходу, происходит построение графа [math]G = (V, E)[/math] на матрице сходства объектов по принципу k ближайших соседей. Две вершины такого графа соединяет ребро, если объект, соответствующий любой из этих вершин попадает в число k наиболее близких объектов для объекта, соответствующего другой вершине из данной пары.

Рисунок 2. Объекты в пространстве - слева, граф по принципу 1-го ближайшего соседа - по центру, граф по принципу 3-х ближайших соседей - справа

Второй этап

Алгоритм разделяет полученный граф на множество сравнительно малых подграфов [math]K= \{K_{i}\}[/math]. Разделение происходит последовательно. На каждом шаге выбирается подграф, содержащий наибольшее число вершин. Этот граф разделяется на два подграфа так, что разделитель ребер графа минимален и каждый из получаемых подграфов содержит не менее 25 % вершин исходного графа. Процесс разделения останавливается, когда наибольший подграф содержит меньше некоторого заданного числа вершин. Обычно величина этого параметра задается равной значению от 1 до 5 % от числа объектов. Полученное множество связных графов считается множеством начальных кластеров, на котором требуется провести последовательное иерархическое объединение.

Третий этап

Третий этап заключается в итеративном преобразовании множества подграфов [math]K= \{K_{i}\}[/math] в множество кластеров [math]C = \{C_{i}\}[/math]. Алгоритм осуществляет агломеративную иерархическую кластеризацию на основании показателей [math]EC_{(C_{i},C_{j})}[/math], [math]S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}[/math], [math]RI_{(C_{i},C_{j})} [/math], [math] RC_{(C_{i},C_{j})}[/math]. Существует две стратегии анализа показателей сходства. Первая подразумевает наличие некоторых пороговых значений [math]T_{RI}[/math] и [math]T_{RC}[/math]. В соответствии с этой стратегией, алгоритм для каждого кластера [math]C_{i}[/math] проверяет, отвечают ли смежные (наиболее близкие) ему кластеры условиям:

• [math]RI_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RI}[/math]

• [math]RC_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RC}[/math]

Если более одного смежного кластера отвечает этим условиям, то алгоритм выбирает для объединения наиболее связный кластер (граф), то есть такой кластер [math]C_{j}[/math], с которым у кластера [math]C_{i}[/math] получается наибольшая абсолютная взаимная связность. По завершению прохода по всем кластерам, созданные таким образом пары объединяются. Параметры [math]T_{RI}[/math] и [math]T_{RC}[/math] могут использоваться для изменения характеристик получаемых кластеров.

Вторая стратегия заключается в использовании специальной функции, объединяющей понятия относительной взаимной связности и относительного взаимного сходства. На каждом шаге выбираются те кластеры для объединения, которые максимизируют эту функцию:

[math]RI_{(C_{i},C_{j})}*RC_{(C_{i},C_{j})}^\alpha[/math],

где [math]\alpha[/math] выбирается пользователем. Если [math]\alpha \gt 1 [/math], то алгоритм придает большее значение относительному взаимному сходству, а если [math]\alpha \lt 1 [/math], то большее значение имеет относительная взаимная связность.

Вычисляемые данные:

[math]U = (u_1, u_2, ..., u_n)[/math] - n-мерный вектор, где [math]u_i \in N_{[C]}[/math] - порядковый номер кластера, к которому принадлежит вершина i исходного множества V.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Алгоритм имеет три вычислительных ядра, по одному на каждый этап.

На первом этапе вычислительным ядром является процесс нахождения [math]k[/math] ближайших соседей для каждой вершины, который заключается в анализе матрицы расстояний.

На втором этапе вычислительным ядром является процесс поиска подходящего разбиения очередного подграфа на два графа с минимизацией разделителя ребер графа.

На третьем этапе вычислительным ядром является расчет величин [math]EC_{(C_{i},C_{j})}[/math], [math]S_{EC_{(C_{i},C_{j})}}[/math], [math]RI_{(C_{i},C_{j})} [/math], [math] RC_{(C_{i},C_{j})}[/math] для каждой пары смежных кластеров.

1.4 Макроструктура алгоритма

Как уже рассказывалось ранее, алгоритм включает в себя три основных этапа, каждый из которых, по сути, является отдельным алгоритмом. Этапы выполняются последовательно относительно друг друга.

Макрооперация на первом этапе - процедура нахождения [math]k[/math] ближайших соседей, на втором - процедура разбиения наибольшего подграфа на два графа, на третьем - процедура вычисления показателей сходства, на основе которых принимается решение о слиянии подграфов в кластер.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Первый этап

 int n; //количество вершин
 int k; //количество соседей
 int A[n][n] //матрица расстояний
 int D[k] //массив вершин-соседей
 int E[n][n] //матрица ребер графа <math>G_{2} = (K, E_{2})</math>
 for i=1 to n-1 do
     {
       for j=i+1 to n do 
            {
               //заполняем массив вершин-соседей вставляя новые вершины, если они ближе, чем самая далекая из массива. 
            }
       for j=0 to k do 
            {
               //для каждой вершины соседа заполняем соответствующую ячейку из матрицы E[n][n] единицей
            }
   
     }

Второй этап

1. Все связные подграфы в отсортированном порядке помещаются в список;
2. Берем наибольший элемент списка, вычисляем количество его вершин. Если число вершин > l, то идем в пункт 3. Иначе в пункт 5;
3. Разбиваем подграф на два подграфа таким образом, чтобы разделитель ребер графа был минимален и каждый из получаемых подграфов содержал не менее 25 % вершин исходного графа;
4. Добавляем полученные элементы в список подграфов таким образом, чтобы список оставался отсортированным. Идем в пункт 2;
5. Нашли искомое множество подграфов math>K = \{K_{i}\}</math>;
6. Создаем и заполняем матрицу матрицу расстояний для графа [math]G_{2} = (K, E_{2})[/math]. Получаем искомый набор рёбер [math]E_{2}[/math].

Третий этап

1. Заводим два массива: а) массив кластеров C, полученных на предыдущем этапе, б) массив объединений кластеров F, которые мы будем получать на этом этапе;
2. Берем следующий кластер [math]C_{i}[/math] (на первом шаге - первый). Если все кластеры просмотрены, идем в пункт 6;
3. Берем следующий кластер [math]C_{j}, i\lt \gt j[/math]. Если все кластеры просмотрены, то идем в пункт 2;
4. Проверяем смежность [math]C_{i}[/math] и [math]C_{j}[/math]. Если не смежны, то возвращаемся в пункт 3. Если смежны, идем в пункт 5;
5. Рассчитываем показатели [math]RI_{(C_{i},C_{j})}[/math] и [math] RC_{(C_{i},C_{j})}[/math]. Проверяем, удовлетворяют ли найденные значения условиям:
*[math]RI_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RI}[/math]
*[math]RC_{(C_{i},C_{j})} \geqslant T_{RC}[/math]
Если нет, то идем в пункт 3. Иначе если смежность пары кластеров выше, чем у предыдущих найденных, то [math]F_{i}=j[/math]. Идем в пункт 3;
6. Если в списке F есть хотя бы одна пара кластеров для слияния, то выполняем слияние, обновляем массив кластеров и массив объединений кластеров. Идем в пункт 2.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

1) Для построения графа на основе метода k ближайших соседей для n вершин требуется [math]O(n log(n))[/math] операций ; для наборов данных большой размерности эта величина составляет [math]O(n^2)[/math] операций ;

2) Для выделения множества сравнительно малых связных подграфов требуется [math]nm[/math] операций, где [math]m[/math] - количество подграфов, полученных на втором этапе алгоритма;

3) Формирование набора кластеров, на основе множества подграфов, полученных на предыдущем этапе, требует [math]m^2log(m)[/math] операций.

Итого, для n вершин получаем последовательную сложность [math]O(n log(n)+nm+m^2log(m))[/math].

1.7 Информационный граф

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Первый этап работы алгоритма можно распределить между [math]n[/math] процессами. На вход каждому процессу подается своя вершина, далее происходит процедура поиска [math]k[/math] ближайших соседей. Параллельная сложность составляет [math]O(n)[/math].

Второй и третий этапы можно распараллелить частично.

Второй этап распараллеливается путем подачи на вход свободному процессу очередного подграфа для разделения. Число итераций оценивается в [math]O(n log(n))[/math].

Третий этап делится на расчет показателей схожести и соединение подграфов в кластеры. Процесс расчета показателей можно распараллелить, подавая каждому процессу на вход пару подграфов. Сложность этого процесса оценивается как [math]m log(m)[/math]. Соединение подграфов в кластеры выполняется последовательно, сложность процесса составляет [math]m^2 log(m)[/math]

Таким образом получаем общую параллельную сложность алгоритма: [math]O(n+ n log(n) + m^2 log (m) + m log(m))[/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные

1. Симметрическая матрица [math]A[/math] расстояний между элементами данных размера [math]n\times n[/math] с нулями на главной диагонали ([math]a_{ii}= 0, i = 1, \ldots, N[/math]).

2. [math]k[/math] - количество ближайших соседей для вершин (рекомендуемое значение [math]k[/math] от 5 до 20 в зависимости от количества анализируемых объектов).

3. [math]l[/math] - наименьшее число вершин, которое может содержать наибольший подкластер на 2-м этапе . Величина этого параметра варьируется от 1 до 5 % от общего числа объектов.

Объём входных данных

[math]\frac{n (n - 1)}{2}[/math] (в силу симметричности и нулевой главной диагонали достаточно хранить только над/поддиагональные элементы).

Выходные данные

Вектор из [math]n[/math] чисел [math]u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{N}[/math], где [math]u_{i}[/math] - целое число, соответствующее кластеру [math]i[/math]-го объекта.

Объём выходных данных

[math]n[/math]

1.10 Свойства алгоритма

Соотношение последовательной и параллельной сложности на первом этапе является линейным для больших наборов данных и логарифмическим для n вершин. На втором этапе сложно оценить это соотношение - оно сильно зависит от параметров [math]k[/math] и [math]l[/math]. На третьем этапе соотношение равно [math]O(1)[/math];

Оценка вычислительной мощности выглядит следующим образом:

[math]O(1)[/math] для 1-го этапа;

[math]O(\frac{nm}{n^2+m^2})[/math] для 2-го этапа;

[math]O(\frac{m^2log(m)}{m^2+n})[/math] для 3-го этапа;

Алгоритм является недетерминированным. Хотя 1-й этап детерминирован, на 2-ом этапе могут быть найдены различные разбиения на подграфы, что повлияет и на итоговый результат работы алгоритма.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Масштабируемость исследовалась на основе работы, презентующей пробную версию параллельной реализации алгоритма для различного числа потоков. График показывает, что эффективность и скорость работы алгоритма растут с увеличением объема входных данных. Однако, в упомянутой выше работе отмечается, что эффективность алгоритма падает с ростом количества потоков.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Последовательная реализация алгоритма доступна по ссылке .

CHAMELEON можно реализовать с использованием графовых библиотек METIS , hMETIS и RANN .

Существует исследование, связанное с реализацией CHAMELEON посредством технологии OpenMP, с которым можно ознакомиться здесь .

Параллельных реализаций алгоритма CHAMELEON не найдено.