Участница:V/Вычисление статистик квадрата норм разностей спектральных проекторов случайных матриц

Основные авторы описания: В.С.Шумовская

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Пусть [math]X_{1},\dots, X_{n}[/math] -- независимые и нормально распределенные случайные вектора в [math]\R^p[/math] с нулевым средним и матрицей ковариацией [math]\Sigma[/math], она лежит в [math]\R^{pxp}[/math] и такая, что ее собственные значения быстро убывают, т.е. 3-5 больших, а остальные, к примеру, в диапазоне от 1 до 3.

К этой выборке применим бутстрэп и вычислим в мире бутстрэпа [math]M[/math] матриц ковариаций сигма [math]\Sigma^{o}_{j}, j = 1,\dots,M.[/math]

Далее фиксируем [math]r[/math], обозначим за [math]P_{r}, P^{o}_{j}, j = 1,\dots,M[/math] - проекторы на r-ое подпространство и вычислим следующие статистики:

[math]S^{o}_{j} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}[/math]

Задача -- вычислить большое количество этих статистик для визуализации их распределения.

1.2 Математическое описание алгоритма

1. Генерация матрицы ковариации.
   1. Возьмем нужный нам набор собственных значений и поместим их на диагонали матрицы [math]\Lambda.[/math]
   2. Далее генерируем базис [math]p[/math]-мерного пространства и поместим его в матрицу [math]U.[/math]
   3. Тогда [math]\Sigma = U\Lambda U^{T}.[/math]
2. Генерация векторов [math]X[/math] ~ [math]N(\theta, \Sigma).[/math] (этот и последующие шаги N раз)
3. Генерация весов [math]w[/math] ~ [math]N(1, 1).[/math]
4. Вычисление матриц ковариаций в бутстрэпе [math]\Sigma^{o} = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}w_{k}X_{k}X^{T}_{k}. [/math] (для каждого набора сгенерированных векторов проделываем этот и последующие шаги M раз)
5. Вычисление собственных векторов [math]u_{1},\dots,u_{p}[/math] (в порядке убывания).
6. Вычисление проекторов (считаем, что одномерные) по формуле [math]u = u_{r}u^{T}_{r}.[/math]
7. Вычисление статистик [math]S^{o} = ||P_{r} - P^{o}_{r}||^{2}_{2}.[/math]
8. В итоге имеем NxM значений.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Основное время работы алгоритма приходится на работу с матрицами (присутствует очень много умножений).