Участник:Yastrebovks/Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией

Алгоритм Ланцоша с полной переортогонализацией
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	$O(n^2)+O(nk^2)$
Объём входных данных	$\frac{n(n + 1)}{2}$
Объём выходных данных	$k(n + 1)$

Авторы: Алексейчук Н.Н 616, Ястребов К.С. 609. Авторы внесли равнозначный вклад в каждый из разделов данной статьи.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма.

Алгоритм Ланцоша ищет собвственные значения и собственные векторы для симетричной матрицы A вещественных чисел. Является итерацонным алгоритмом. Алгоритм Ланцоша использует степенной метод ($b_{k+1} = \frac{Ab_k}{||Ab_k||}$) для поиска наибольших собственных значений и векторов матриц.

В отличие от прямых алгоритмов требует мешьше памяти и мощности, что является несомненным плюсом для больших матриц.

Несмотря на свою скорость работы и экономию памяти, сначала не был популярным алгоритмом из – за недостаточной вычислительной устойчивости. В 1970 году Ojalvo и Newman [1] показали способ сделать алгоритм достаточно устойчивым. В этой же статье алгоритм был применен к расчету инженерной конструкции с большим количеством узлов, которые подвергались динамической нагрузке.

1.2 Математическое описание алгоритма

Памятка: Степенной метод нахождения наибольшего собственного числа матрицы можно сформулировать в предельном виде: если $b_0$ – случайный вектор, и $b_n+1 = Ab_n$, тогда для больших чисел n предел $x_n/||x_n||$ стремится к нормированному наибольшему собственному вектору.

Алгоритм Ланцоша комбинирует метод Ланцоша для нахождения крыловского подпространства и метод Релэя – Ритца.

Подпространство Крылова для степенного метода: $K_m(v,A) = span[x_1, Ax_1, A^2x_1, ..., A^{k-1}x_1]$

В качестве входных данных для алгоритма Ланцоша подаются квадратная матрица размерности $n$X$n$: $A=A^T$; а так же вектор начального приближения $b$.

Метод осуществляет поиск трехдиагональной симметричной матрицы $T_k=Q_k^TAQ_k$.

Таким образом матрица $T_k=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_2 \\ \beta_2 & \alpha_2 & \beta_3 &\\ &. & . & .\\ &&\beta_{k-1} & \alpha_{k-1} & \beta_k\\ &&&\beta_k & \alpha_k \end{bmatrix}$

Причем собственные значения $T_k$ таковы, что приближают собственные значения исходной матрицы $A$. То есть на каждом $k$-м шаге из ортонормированных векторов Ланцоша строится матрица $Q_k = [q_1,q_2,...,q_k]$ и в качестве приближенных собственных значений матрицы $A$ принимаются числа Ритца.

Из-за ошибок округления вектора $A^{k-1}x_1$, формирующие подпространство Крылова, становятся неортогональными. Чтобы решить данную прорблему, проводят переортогонализацию методом Грамма-Шмидта.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительным ядром данного алгоритма являются следующие шаги:

• 1. $Aq=( \sum\nolimits_{i=^n}a_{1i}q_i, \sum\nolimits_{i=2}^na_{2i}q_i, ..., \sum\nolimits_{i=1}^na_{ni}q_i)$.

• 2. $z=z-\sum\nolimits_{i=1}^{k}(z^Tq_i)q_i.$

В данном случае первая операция выполняет умножение симметричной матрицы $A$ размерности $n$X$n$ на $n$-мерный вектор $q$, вследствие чего вычислительная сложность выполнения заключается в $n^2$ умножений и $n^2-n$ сложений. Второе действие является процессом ортогонализации Грама-Шмидта. В последнем действии вычисляются $k^2n+k(n+2)$ умножений и $k^2n + k(n + 1) + 2$ операций сложения.

1.4 Макроструктура алгоритма

Основные операции:

• 1. умножение матрицы на вектор $b=Ax$.

• 2. ортогонализация методом Грмма-Шмидта.

• 3. вычисление нового вектора $q_{i+1} = z/ \beta$.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

$\begin{array}{l} \mathtt{input:}\; A, b, k\\ q_1 = b / \Vert b \Vert_2\\ Q = q_1\\ \mathtt{for}\; j = \overline{1, k}:\\ \quad z = A q_j \\ \quad \alpha_j = q_j^T z \\ \quad z = z - Q \left( Q^T z \right) \\ \quad z = z - Q \left( Q^T z \right)\\ \quad \beta_j = \Vert z \Vert_2\\ \quad \mathtt{if }\; \beta_j = 0\\ \quad \quad \mathtt{exit}\\ \quad \mathtt{end \; if}\\ \quad q_{j+1} = z/\beta_j\\ \quad Q = [Q, q_{j + 1}]\\ \mathtt{end \; for}\\ \mathtt{output:}\; [\alpha_1, \dots, \alpha_k], [\beta_1, \dots, \beta_{k - 1}], [q_1, \dots, q_k]. \end{array}$

Рассмотрим подробнее все шаги данного алгоритма:

$1.z=Aq_j,$

Вычисляется диагональный элемент конечной матрицы $T_k$,

$2.\alpha_j=q_j^Tz,$

Далее дважды проводится полная переортогонализация по Грамму-Шмидту. Данные действия необходимы для гарантии ортогональности базиса.

$3.z =z-\sum\nolimits_{i=1}^{j-1}(z^Tq_i)q_i,$

$4.z=z-\sum\nolimits_{i=1}^{j-1}(z^Tq_i)q_i,$

$5.z=z-\alpha_jq_j-\beta_{j}q_{j-1},$

Далее вычисляются недостающие элементы матрицы $T_k$.

$6.\beta_{j+1}=||z||,$

Если $\beta_{j+1}=0$, то алгоритм завершается.

$7.q_{j+1}=z/\beta_{j+1}.$

В конце каждой итерации получаем очередной вектор $q_{j+1}$ базиса с единичной нормой, который ортогонален всем предыдущим векторам базиса,

и элементы $\alpha_j$, $\beta_{j+1}$ трехдиагональной матрицы $T_k$ .

Кроме того, заметим, что очень часто в макрооперациях возникает операция вычисления суммы всех элементов массива. Её необходимо выполнять и при умножении матрицы на вектор, и при вычислении скалярного произведения, и при вычислении нормы вектора. Разные методы суммирования дают разный ресурс параллелизма. В этой работе предполагается, что везде для суммирования используется последовательный способ.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Количество операций складывается из количества операций для классического метода Ланцоша[2] и количества операций для переортогонализации методом грамма-Шмидта[3].

Итоговая сложность составляет $O(n^2)+O(nk^2)$.

1.7 Информационный граф

Троеточием в данном алгоритме обозначаются операции, выполняющиеся для всех элементов от $i=1..n$.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Хотя алгоритм является итерационным, возможно распараллелить внутри каждой итерации умножение матрицы на вектор и процесс переортогонализации Грамма-Шмидта.

Процесс умножения матриц matvec можно распараллелить несколькими способами[4].

Как видно из графа, для выполнения j-й операции, необходимо выполнить следующие ярусы:

1. $n$ ярусов сложений с $n$ операциями умножения в каждом (вычисление $z$);
2. $n$ ярусов сложений с $1$ операцией умножения в каждом (вычисление $\alpha_j$);
3. $j$ ярусов сложений с $n$ операциями умножения в каждом, $n$ ярусов сложений с $j$ операциями умножения в каждом, $1$ ярус вычитаний размера $n$ (первая переортогонализация);
4. $j$ ярусов сложений с $n$ операциями умножения в каждом, $n$ ярусов сложений с $j$ операциями умножения в каждом, $1$ ярус вычитаний размера $n$ (вторая переортогонализация);
5. $n$ ярусов сложений с $1$ операцией умножения в каждом (вычисление $\beta_j$);
6. $1$ ярус делений размера $n$ (вычисление $q_{j + 1}$).

Если учесть весь ресурс параллелизма можно получить сложность $O(k)$.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

На вход принимается сама матрица $A \in R^{n \times n}$, случайный вектор $b$ (впрочем возможен вариант, при котором этот вектор генерируется случайным образом). Ввиду симметричности входной матрицы достаточно передать лишь ее верхнюю треугольную матрицу, что дает объем входных данных $\frac{n(n + 1)}{2}$.

Выходными данными для $j$ой итерации являются вектор $Aq_j$ и собственное число $\lambda$. Общий объем выходных данных $k(n+1)$.

1.10 Свойства алгоритма

Если $A$ эрмитова матрица, то алгоритм Ланцоша и Bi-Lanczos сходятся к одинаковым трехдиагональным матрицам ритца[5].

При реализации классического алгоритма Ланцоша возникает большая погрешность при округлении. Вариант с полной переортогонализацией позволяет избегать больших погрешностей, однако является более ресурсоемким. Существует промежуточный вариант с частичной переортогонализацией.

Алгоритм может завершить свою работу досрочно, когда найденные собственные значения будут достаточно близки к целевым.

2 Программная реализация алгоритма

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Исследование масштабируемости реализации алгоритма проводилось с использованием стандарта MPI на суперкомпьютере "Ломоносов".

Набор изменяемых параметров запуска реализации алгоритма и границы значений параметров алгоритма:

• Число процессоров $1,2,4,8,16,32,64,96,128$
• Размерность матрицы $1000:15000,1700,21000,25000,30000$
• Количество итераций $500$

2.7 Существующие реализации алгоритма

The IETL Project http://www.comp-phys.org/software/ietl/ C++

NAG Library http://www.nag.com/content/nag-library C, C++, Fortran, C#, MATLAB, R

ARPACK https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/arpack/arpack.html MATLAB

GrapLab https://turi.com/products/create/open_source.html C++

С частичной переортаганализацией

LANSO/PLANSO http://web.cs.ucdavis.edu/~bai/ET/lanczos_methods/overview_PLANSO.html Fortran (уже распараллелена)

3 Литература

Ojalvo, I.U. and Newman, M., "Vibration modes of large structures by an automatic matrix-reduction method", AIAA J., 8 (7), 1234–1239 (1970).