Участник:Shostix/Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без переортогонализации)

Алгоритм Ланцоша для точной арифметики (без ортогонализации)
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]O(kn^2)[/math]
Объём входных данных	[math]\frac{n(n+1)}{2} + 1[/math]
Объём выходных данных	[math]kn+k[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]O(k*log(n))[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]O(n^2)[/math]

Авторы:

• А.В. Шостик.

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм Ланцоша - один из итерационных методов вычисления собственных значений и собственных векторов симметричных матриц (задача [math]Ax = \lambda x[/math]). Используется для работы с матрицами столь большими, что классические численные методы нахождения собственных значений неприменимы из-за высокой вычислительной сложности. На практике чаще всего используется для работы с большими разреженными матрицами.

Алгоритм был предложен в 1950 году венгерским физиком и математиком Корнелием Ланцошем. Основан на понятии построения крыловского подпространства и процедуре Рэлея-Ритца: строит последовательность трехдиагональных матриц с тем свойством, что экстремальные собственные значения для каждой последующей трехдиагональной матрицы дают все более точные оценки экстремальных собственных значений для А.

В данной статье будет рассмотрен простой метод Ланцоша (без ортогонализации). К сожалению, на практике использование метода Ланцоша без ортогонализации затруднено ошибками округления. Центральная проблема - это потеря ортогональности получаемых итерационно векторов Ланцоша. Такая проблема решается усовершенствованием алгоритма Ланшоца (алгоритмами Ланшоца с выборочной и полной ортогонализацией).

В данной статье будем подразумевать отсутствие влияния ошибок округления на вычислительный процесс.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• симметрическая матрица [math]A=A^T[/math] размерности [math]n[/math], элементы матрицы [math]a_{ij}=a_{ji}[/math]
• начальный вектор [math]v = {v_1, v_2, ..., v_n}, v \neq \theta[/math]

Так как матрица является симметрической, достаточно хранить [math]\frac{n(n+1)}{2}[/math] ее элементов.

Для исходной матрицы [math]A[/math] и вектора [math]v[/math] строится крыловское подпространство. Крыловское подпространство - это линейная оболочка векторов [math][v, Av, A^2v, ..., A^{k-1}v][/math], называемых векторами Ланцоша. Каждый из векторов Ланцоша ортонормируется: [math]q_k=\frac{A^kv}{\|A^kv\|}[/math], и на шаге [math]k[/math] алгоритма имеется Крыловская матрица [math]Q = {q_0, ..., q_{k-1}}[/math] размерности [math]n \times k[/math].

Соответствующий текущей итерации [math]k[/math] вектор Ланцоша считается [math]k[/math]-ым приближением собственного вектора исходной матрицы [math]A[/math]. В качестве приближенных собственных значений матрицы [math]A[/math] берутся собственные значения симметричной трехдиагональной матрицы [math]T_k = Q^T_k A Q[/math] (числа Ритца). В качестве алгоритма нахождения собственных векторов и собственных значений симметрической трехдиагональной матрицы будем использовать метод "разделяй и властвуй", который требует [math]O(k^3)[/math] операций..

Выходные данные:

• совокупность собственных векторов матрицы [math]T_k[/math] (т.е. [math]k[/math]-ых приближений собственных векторов матрицы [math]A[/math])
• совокупность собственных значений матрицы [math]T_k[/math] (т.е. [math]k[/math]-ых приближений собственных значений матрицы [math]A[/math])

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро. т.е. часть алгоритма, требующая наибольших вычислительных затрат на каждой итерации состоит из вычисления промежуточного вектора [math]z=Aq_i[/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Итерация алгоритма:

• вычисление нормы вектора,
• деление вектора на число,
• умножение матрицы на вектор,
• линейная комбинация векторов (умножение на число и сложение).

Финальный расчет:

• вычисление собственных векторов и собственных значений трехдиагональной симметричной матрицы.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Псевдокод алгоритма:

Вход  : размерность матрицы [math]n[/math], элементы симметричной матрицы [math]A[/math], количество итераций [math]k[/math]
Выход : собственные вектора матрицы [math]T_k[/math], матрица собственных значений 

[math] \begin{align} q_1 = & b/ \|b\|_2,\; \beta_0 = 0,\; q_0 = 0\\ for \; & i = 1 \; to \; k \\ & z = Aq_i\\ & \alpha_i = q^T_i z\\ & z = z - \alpha_i q_i - \beta_{i-1}q_{i-1}\\ & \beta_i = \|z\|_2\\ & If \; \beta_i == 0 \; then \\ & \; \; \; \; exit\\ & else \\ & \; \; \; \; q_{i+1} = z / \beta_i \\ end \; & for \end{align}; [/math]

[math]procedure(T_k)[/math];

[math]procedure()[/math] - процедура вычисления собственных векторов и собственных значений симметрической трехдиагональной матрицы.

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Глобально алгоритм состоит из инициализации, [math]k[/math] итераций и финального расчета собственных векторов и собственных значений.

Рассмотрим сложность каждой макрооперации алгоритма:

• вычисление нормы вектора - [math](n-1)[/math] сложений, [math]n[/math] умножений, операция извлечения корня
• деление вектора на число - [math]n[/math] операций
• умножение матрицы на вектор - [math]n^2[/math] операций
• скалярное произведение векторов - [math]n[/math] операций
• линейная комбинация векторов - [math]2n[/math] умножений и вычитаний
• вычисление собственных векторов и собственных значений матрицы [math]T_k[/math] методом "Разделяй и властвуй" - [math]O(k^3)[/math] операций.

Инициализация:

• вычисление нормы вектора,
• деление вектора на число.

Одна итерация:

• умножение матрицы на вектор,
• скалярное произведение векторов,
• линейная комбинация векторов,
• вычисление нормы вектора,
• деление вектора на число.

Финальный расчет:

• вычисление собственных векторов и собственных значений матрицы

Итого последовательная сложность алгоритма составляет [math]O(3n+k(n^2+n+2n+2n+3n))+O(k^3)[/math].

Так как на практике порядок матрицы [math]n[/math] намного превышает количество итераций [math]k[/math], сложность алгоритма Ланцоша можно рассматривать [math]O(kn^2)[/math].

1.7 Информационный граф

Информационный граф алгоритма с входными и выходными данными можно описать в виде рисунка:

Рисунок 1. Информационный граф алгоритма Ланцоша.
[math]\|.\|[/math] — операция вычисления нормы,
[math]/[/math] — операция деления,
[math]A[/math] — операция умножения матрицы на вектор,
[math]*[/math] — операция скалярного произведения,
[math]L[/math] — операция вычисления линейной комбинации векторов,
▽ - проверка условия [math]\mathsf{(\beta_i = 0)}[/math] и выход из цикла в случае выполнения условия

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Внутри каждой итерации алгоритма можно задействовать параллельные вычисления для суммирования векторов (использовать суммирование методом сдваивания элементов). Эта операция будет использована в макрооперации умножения матрицы на вектор, которая требует в последовательной реализации [math]n[/math] умножений и [math]n-1[/math] сложение. В таком виде сложение [math]n[/math] элементов можно выполнить за [math]\log_2 n[/math] действий.

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: симметрическая матрица [math]A=A^T[/math] размерности [math]n[/math], количество итераций [math]k[/math].

Объем входных данных: [math]\frac{n(n+1)}{2} + 1[/math].

Выходные данные: [math]k[/math] собственных векторов, собственных значений матрицы на [math]k[/math]-ом приближении.

Объем выходных данных: [math]kn+k[/math].

1.10 Свойства алгоритма

• Сложность последовательной реализации алгоритма [math]O(kn^2)[/math].
• Сложность параллельного алгоритма Ланцоша по высоте ЯПФ [math]O(k\log n)[/math], по ширине ЯПФ [math]O(n^2)[/math].
  • В умножении матрицы на вектор сложение n элементов выполняется в [math]\log_2 n[/math] ярусов шириной [math]\frac{n}{2}, \frac{n}{4}, ... , 1[/math], остальные операции внутри итерации выполняются последовательно
• Отношение последовательной сложности к параллельной [math]\frac{kn^2}{k \log{n}}[/math].
• Вычислительная мощность алгоритма Ланцоша из последовательной сложности алгоритма [math]\frac{k(2n^2+8n-1)+3n}{n^2+2k}[/math]. Учитывая [math]k[/math] много меньше [math]n[/math], вычислительная мощность ≈ [math] 2k[/math].
• В алгоритме Ланцоша возможно выполнение числа итераций менее [math]k[/math] если все собственные значения матрицы вычисляются раньше.
• Для найденных собственных значений справедливо: [math]\lambda_i(T_{k+1})\geq \lambda_i(T_{k})\geq \lambda_{i+1}(T_{k+1})\geq \lambda_{i+1}(T_{k})[/math], т.е. в первую очередь находятся максимальные по модулю собственные значения.
• Как следствие предыдущего пункта алгоритм Ланцоша особенно удобен для вычисления собственных значений матрицы, находящихся на границе ее спектра.