Участник:Bormas

1 Задача

Пусть [math] X_1, X_2,...X_n [/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math] F(x) [/math], для которой при [math] x \to +\infty [/math] имеет место следующее представление:[math] F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} [/math], где [math] C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta [/math].

Методом статистического анализа показать, что [math] \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 [/math] и найти коэффициенты [math] a_n \gt 0 [/math].

Построить гистограмму статистики [math] T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} [/math] для функции [math] F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+2)\sqrt{\ln{(x+2)}}}, x \gt 0 [/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.

2 Решение

Рассмотрим [math] \frac{\overline{F}(tx)}{F(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} [/math] при [math]x \to \infty [/math] [math] \Rightarrow [/math] [math] F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)[/math] [math] \Rightarrow [/math]

[math] \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}[/math] при [math]x \to \infty [/math], [math] \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n}[/math] [math] \Rightarrow [/math]

[math] \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}}[/math]

[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n}[/math]

[math] \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n}[/math]

Будем искать [math] \ln{a_n} [/math] в виде:

[math] \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})[/math], где [math] \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})[/math]

[math] \ln{r_n} - (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{c} = 0 [/math]

[math] \ln{(\ln{n}+\ln{r_n})} = \ln{\ln{n}} + ln{(1 + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}})} = \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \frac{\overline{O}(\ln{r_n})}{\ln{n}} = \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \overline{O}(1)[/math]

[math] \ln{r_n} - (\beta - 1)[-\ln{\alpha} + \ln{\ln{n}} + \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} + \overline{O}(1)] - \ln{C} = 0 [/math], учитывая [math] \frac{\ln{r_n}}{\ln{n}} = \overline{O}(1) [/math]

[math] \ln{r_n} = -(\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \ln{C} + \overline{O}(1) = (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \overline{O}(1) + \ln{\tilde{C}} [/math],

где [math] \tilde{C} = C\alpha^{1 - \beta} [/math]

[math] \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} + \ln{\tilde{C}}) = \ln{(n(\ln{n})^{\beta-1}\tilde{C})^{\frac{1}{\alpha}}}[/math]

[math] a_n = (\frac{n(\ln{n})^{\beta-1}C}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}[/math]