Участник:Bormas
1 Задача
Пусть [math] X_1, X_2,...X_n [/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины с общей функцией распределения [math] F(x) [/math], для которой при [math] x \to +\infty [/math] имеет место следующее представление:[math] F(x)=1-C(lnx)^{\beta-1}x^{-\alpha} [/math], где [math] C \gt 0 , \alpha \gt 0, \forall \beta [/math].
Методом статистического анализа показать, что [math] \lim_{n \to \infty}F(X_n^{(n)}) = \exp{x^{-\alpha}}, x \gt 0 [/math] и найти коэффициенты [math] a_n \gt 0 [/math].
Построить гистограмму статистики [math] T_n = \frac{X_n^{(n)}}{a_n} [/math] для функции [math] F(x) = 1 - \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x+1)\sqrt{\ln{(x+1)}}}, x \gt 1 [/math] и сравнить её с функцией предельного распределения.
2 Решение
Обозначим за [math] \overline{F}(x) = 1 - F(x) [/math] Рассмотрим [math] \frac{\overline{F}(tx)}{\overline{F}(x)} = \frac{C(\ln{tx})^{\beta-1}(tx)^{-\alpha} }{C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}} \to t^{-\alpha} [/math] при [math]x \to \infty [/math] [math] \Rightarrow [/math] [math] F(x) \in MDA(\Phi_\alpha)[/math], то есть принадлежит классу предельных распределений Фреше
Теперь найдем [math] a_n [/math]:
[math] \overline{F}(x) \sim C(\ln{x})^{\beta-1}x^{-\alpha}[/math] при [math]x \to \infty [/math], [math] \overline{F}(a_n) \sim \frac{1}{n}[/math] [math] \Rightarrow [/math]
[math] \ln{[C(lna_n)^{\beta-1}a_n^{-\alpha}]} = \ln{\frac{1}{n}}[/math]
[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \alpha \ln{a_n} = -\ln{n}[/math]
[math] \alpha \ln{a_n} - (\beta-1)\ln{\ln{a_n}} - \ln{C} = \ln{n}[/math]
Будем искать [math] \ln{a_n} [/math] в виде: [math] \ln{a_n} = \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})[/math], где [math] \ln{r_n} = \overline{O}(\ln{n})[/math]
[math] \ln{C} + (\beta-1)\ln{[\frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{r_n})]} - \ln{n} - \ln{r_n} = -\ln{n} [/math]
[math] \ln{r_n} \simeq \ln{C} - (\beta - 1)\ln{\alpha} + (\beta - 1)\ln{\ln{n}} = \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})} [/math] - подставляем это в [math] \ln{a_n} [/math]
[math] \ln{a_n} \sim \frac{1}{\alpha}(\ln{n} + \ln{(C(\ln{n})^{\beta - 1}\alpha^{-(\beta - 1)})}) [/math]
[math] a_n = (\frac{Cn(\ln{n})^{\beta-1}}{\alpha^{\beta - 1}})^{\frac{1}{\alpha}}[/math]
В частном случае (из функции распределения):
[math] C = 2\sqrt{\ln{2}}; \alpha = 1; \beta = \frac{1}{2} [/math] - находятся путём подставления в [math] \overline{F}(a_nx) = \frac{2\sqrt{\ln{2}}}{(x + 1)\sqrt{\ln{(x + 1)}}} [/math]
[math] a_n = \frac{2\sqrt{\ln{2}}n}{\sqrt{\ln{n}}} [/math]
[math]
P(X_n^{(n)} \lt xa_n) \to
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\
0 &, x \le 0
\end{cases}
[/math]
[math] \Downarrow [/math]
[math] P(\frac{X_n^{(n)}}{a_n} \lt x) \to \begin{cases} e^{-\frac{1}{\alpha}} &, x \gt 0 \\ 0 &, x \le 0 \end{cases} [/math] - предельная функция распределения статистики
А сама статистика [math] \frac{X_n^{(n)}}{a_k} [/math] находится следующим образом:
1) Сначала генерируем какое-то количество случайных величин [math] X_1, X_2,..., X_n [/math]
2) Далее берем [math] X_n^{(n)} = X_n [/math], то есть максимально возможный элемент выборки
3) Затем делим [math] X_n^{(n)} [/math] на [math] a_k [/math], получая наш первый элемент статистики [math] \frac{X_n^{(n)}}{a_1} [/math]
4) Далее повторяем пункты 1) - 3) и чем больше статистик мы сгенерируем, тем более точная будет гистограмма
Затем нам нужно сравнить гистограмму статистики с функцией предельного распределения, и тут как раз имеет смысл распараллеливание.
3 Распараллеливание
Для того, чтобы задача работала быстрее, имеет смысл создание каждого элемента статистики вынести на отдельные ядра. Самым трудоемким процессом является процесс создания случайной величины из наперед заданной функции распределения.
