Алгоритм Фокса умножения матриц

1 Свойства и структура алгоритмов

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Фокса - это блочный алгоритм умножения квадратных матриц. Основная его идея заключается в том, что матрицы разбиваются на части, представляющие собой подматрицы исходных матриц (разделяются как матрицы-операнды, так и результирующая). При таком разбиении данных для определения базовых подзадач за основу берутся вычисления, выполняемые над блоками. А базовой подзадачей является процедура вычисления всех элементов одного из блоков результирующей матрицы. В отличие от стандартного ленточного алгоритма, когда мы рассматриваем матрицы в виде набора строк и столбцов, такой подход позволяет добиться большей локализации данных и повысить эффективность использования кэш-памяти.

1.2 Математическое описание алгоритма

Исходные данные: квадратная матрица [math]A[/math] (состоит из блоков [math]A_{ij}[/math]), квадратная матрица [math]B[/math] (состоит из блоков [math]B_{ij}[/math]).

Вычисляемые данные: квадратная матрица [math]C[/math] (состоит из блоков [math]C_{ij}[/math]).

При этом каждый блок [math]C_{ij}[/math] определяется как произведение соответствующих блоков матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] :

[math] \begin{align} C_{ij} = \sum_{s = 0}^{q-1} A_{is} B_{sj}, \quad i \in [0, q-1],\quad j \in [0, q-1]. \end{align} [/math]

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро перемножения квадратных матриц методом Фокса можно составить из процедур вычисления всех элементов одного из блоков результирующей матрицы, т.е. из процедур множественных вычислений умножения блоков матрицы [math]A[/math] на блоки матрицы [math]B[/math]

[math] \begin{align} \sum_{s = 0}^{q-1} A_{is} B_{sj}, \quad i \in [0, q-1],\quad j \in [0, q-1]. \end{align} [/math]

1.4 Макроструктура алгоритма

Как уже записано в описании ядра алгоритма, основную часть умножения матриц составляют множественные вычисления произведения блоков матрицы [math]A[/math] на блоки матрицы [math]B[/math]. Перемножать блоки будем стандартным методом, используя определение произведения матриц:

[math] \begin{align} \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{kj} \end{align} [/math]

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Вначале производится рассылка в процесс с координатами (i, j) блоков Aij, Bij исходных матриц. Кроме того, выполняется обнуление матрицы Cij, предназначенной для хранения соответствующего блока результирующего произведения AB. Затем запускается цикл по m (m = 0, …, q), в ходе которого выполняются три действия:

• для каждой строки i (i = 0, …, q) блок Aij одного из процессов пересылается во все процессы этой

же строки; при этом индекс j пересылаемого блока определяется по формуле j = (i + m) mod q;

• полученный в результате подобной пересылки блок матрицы A и содержащийся в процессе (i, j)

блок матрицы B перемножаются, и результат прибавляется к матрице Сij;

• для каждого столбца j (j = 0, …, q) выполняется циклическая пересылка блоков матрицы B, содержащихся в каждом процессе (i, j) этого столбца, в направлении убывания номеров строк.

После завершения цикла в каждом процессе будет содержаться матрица Cij, равная соответствующему блоку произведения AB. Останется переслать эти блоки главному процессу.

3 Литература

1. Абрамян М.Э. Лекции по основам параллельного программирования, ЮФУ, 2016

2. Гергель В. П. Теория и практика параллельных вычислений: учебное пособие, ИНТУИТ, 2007