Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.

1.2 Математическое описание алгоритма

Рассмотрим систему уравнений [math] Ax = b [/math], где [math] A^* = A \gt 0 [/math].
Выберем произвольное начальное приближение [math] x^{(0)} [/math] и перейдем к редуцированной системе [math] Au = r^{(0)} [/math], где [math] r^{(0)} = b - Ax^{(0)} [/math], [math]x = x^{(0)} + u [/math].
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова [math] K_i(r^{(0)}, A) [/math] A-норму ошибки [math] e = x - z [/math], где [math] z [/math] -- точное решение системы. Таким образом, [math] x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} [/math], где [math] y^{(i)} = \underset{x}{\operatorname{argmin}} [/math]