Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, гр. 417, 2017-ый год

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Описание алгоритма

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод [1]. Далее описывается DSn-метод решения стационарного изотропного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси $x$ (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям $y$ и $z$ плоских слоев некоторого вещества (например, урана) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

[math] \mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu), [/math]

где

[math] Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x). [/math]

Используемые обозначения:

• [math]\mu[/math] --- косинус угла [math]\theta[/math] между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси [math]x[/math];
• [math]N(x,\mu)[/math] --- поток нейтронов, летящих в заданном направлении [math]\mu[/math] в точке [math]x[/math];
• [math]SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'[/math] --- скалярный поток нейтронов в точке [math]x[/math];
• [math]\sigma(x)[/math] --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке [math]x[/math], т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов этой точкой среды;
• [math]\sigma_S^0(x)[/math] --- макроскопическое сечение изотропного рассеяния нейтронов в точке [math]x[/math] среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
• [math]q(x)[/math] --- независимый источник нейтронов в точке [math]x[/math].

Уравнение переноса является обыкновенным дифференциальным уравнением с интегральным членом в правой части. Целью решаемой задачи является нахождение потока нейтронов [math]N(x,\mu)[/math] или скалярного потока [math]SN(x)[/math], потому что из него путем подстановки в уравнение можно получить значение потока.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров, задающих его, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что в области [math][x_{max}, +\infty)[/math] создан вакуум (то есть поток нейтронов равен нулю по всем направлениям): [math]N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 1][/math]; а на левой границе нейтроны отражаются, изменяя направление своего полета с [math]\mu\lt math\gt на \lt math\gt -\mu\lt math\gt , то есть краевое условие имеет вид: \lt math\gt N(x_{min},\mu) = N(x_{min}, -\mu), \forall \mu \in [0, 1][/math]. Также значения параметров [math]\sigma(x), \sigma_S^0(x)[/math] и [math]q(x)[/math] будем считать константными в каждом из слоев.

Для численного решения задачи вводится дискретная сетка по оси [math]x[/math] и по параметру [math]\mu[/math]. \\