Участник:S s serov/DSn-метод решения уравнения переноса

Автор текущей версии статьи: Серов Сергей, гр. 417, 2017-ый год

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Описание алгоритма

Уравнение переноса нейтронов описывает процессы поглощения, рассеяния и размножения, происходящие в ядерном реакторе. Одним из популярных детерминистических методов его решения, как известно, является DSn-метод [1]. Далее описывается DSn-метод решения стационарного изотропного одногруппового уравнения переноса нейтронов в 1D плоско-параллельной геометрии.

Геометрическая модель решаемой задачи имеет следующий вид: перпендикулярно единственной участвующей в рассмотрении оси $x$ (будем считать, что она направлена слева направо) расположено несколько бесконечных по осям $y$ и $z$ плоских слоев некоторого вещества (например, урана) заданной толщины, прилегающих друг к другу.

$\mu \frac{dN(x,\mu)}{dx} + \sigma(x)N(x,\mu) = Q(x,\mu),$

где

$Q(x,\mu) = \frac{\sigma_S^0(x)}{2}\int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu' + \frac{1}{2}q(x).$

Используемые обозначения:

• $\mu$ --- косинус угла $\theta$ между направлением полета нейтрона и положительным направлением оси $x$;
• $N(x,\mu)$ --- поток нейтронов, летящих в заданном направлении $\mu$ в точке $x$;
• $SN(x) = \int_{-1}^1 N(x,\mu')d\mu'$ --- скалярный поток нейтронов в точке $x$;
• $\sigma(x)$ --- макроскопическое сечение взаимодействия нейтронов со средой в точке $x$, т.е. коэффициент обобщенного поглощения нейтронов этой точкой среды;
• $\sigma_S^0(x)$ --- макроскопическое сечение изотропного рассеяния нейтронов в точке $x$ среды, т.е. коэффициент обобщенного рассеяния нейтронов в этой точке среды;
• $q(x)$ --- независимый источник нейтронов в точке $x$.

Уравнение переноса является обыкновенным дифференциальным уравнением с интегральным членом в правой части. Целью решаемой задачи является нахождение потока нейтронов $N(x,\mu)$ или скалярного потока $SN(x)$, потому что из него путем подстановки в уравнение можно получить значение потока.

Для каждого слоя вещества необходимый набор параметров, задающих его, известен, а также известны краевые условия на левом и правом концах рассматриваемой системы. В рассматриваемой постановке задачи мы считаем, что в области $[x_{max}, +\infty)$ создан вакуум (то есть поток нейтронов равен нулю по всем направлениям): $N(x_{max},\mu) = 0, \forall \mu \in [-1, 1]$; а на левой границе нейтроны отражаются, изменяя направление своего полета с $\mu$ на $-\mu$, то есть краевое условие имеет вид: $N(x_{min},\mu) = N(x_{min}, -\mu), \forall \mu \in [0, 1]$. Также значения параметров $\sigma(x), \sigma_S^0(x)$ и $q(x)$ будем считать константными в каждом из слоев.

Для численного решения задачи вводится дискретная сетка по оси $x$ и по параметру $\mu$. \\