Участник:Zhu.a-v/Алгоритм Киркпатрика

Автор статьи: Журавская Александра

1 Свойства и структура алгоритма

Алгоритм Киркпатрика решает задачу построения выпуклой оболочки набора точек методом "разделяй и властвуй" .

1.1 Общее описание алгоритма

Выпуклой оболочкой множества [math] X [/math] называется наименьшее выпуклое множество, содержащее множество [math] X [/math].

Справедлива следующая интерпретация выпуклой оболочки: если вбить в деревянную доску несколько гвоздей, забивая их только до середины ножки, затем накинуть вокруг них петлю веревки и затянуть, веревка опишет выпуклую оболочку для множества точек-гвоздей.

1.2 Математическое описание алгоритма

Входные данные: множество точек [math] X = {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)}[/math].

Ясно, что выпуклая оболочка множества точек на плоскости [math] X [/math] --- это выпуклый многоугольник, вершины которого содержатся в [math] X [/math], и все остальные элементы [math] X [/math] лежат внутри этого многоугольника. Значит, задача поиска выпуклой оболочки [math] conv X [/math] сводится к выбору такого набора вершин [math] (x_{i_1},y_{i_1}),(x_{i_2},y_{i_2}),...,(x_{i_n},y_{i_n}) [/math] , которые образуют выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества [math] X [/math].

Выходные данные: множество точек [math] conv X [/math] --- вершины выпуклой оболочки для множества [math] X [/math].

Применим рекурсивный подход "разделяй и властвуй" для решения поставленной задачи:

1. Если множество состоит из 1 элемента, его выпуклая оболочка совпадает с самим множеством. Иначе шаг 2.

2. Проведем на плоскости прямую, разделяющую множество на два примерно одинаковых подмножества [math] X_l [/math], [math] X_r [/math]. Выберем для этого следующую прямую: [math] x = \frac{\sum_{(a,b) \in T} a}{|T|} [/math] --- это вертикальная линия, медиана абцисс точек множества, для которого на текущем шаге строится выпуклая оболочка. Для каждого из полученных подмножеств найдем выпуклую оболочку. Перейдем на шаг 3.

3. Построим [math] conv(X) [/math] по [math] conv(X_l) [/math] и [math] conv(X_r) [/math], построенным на предыдущем шаге. Поскольку множества [math] X_l [/math] и [math] X_r [/math] разделены вертикальной линией, их выпуклые оболочки представляют собой непересекающиеся выпуклые многоугольники. Следовательно, для построения общей выпуклой оболочки этих многоугольников достаточно найти их общие касательные - верхнюю и нижнюю, а затем отбросить правую цепочку в многоугольнике [math] conv(X_l) [/math] и левую цепочку в многоугольнике [math] conv(X_r) [/math]. Пусть левый и правый многоугольники представлены списками вершин [math] P_l [/math] и [math] P_r [/math]. Поиск общей касательной начнем с мостика [math](u,v)[/math], соединяющего самую правую вершину [math]u[/math] в [math] P_l [/math] с самой левой вершиной [math]v[/math] в [math] P_r [/math]. Далее будем последовательно перемещать эти вершины вдоль границ выпуклых многоугольников против часовой стрелки в [math] P_l [/math] и по часовой стрелке в [math] P_r [/math] до тех пор, пока существуют вершины, лежащие слева от вектора [math](u,v)[/math]. Таким образом мы найдем общую верхнюю касательную. Аналогично, вычислим нижнюю касательную. Но перемещение теперь осуществляется по часовой стрелке в [math] P_l [/math] и против часовой стрелки в [math] P_r [/math]. Поиск нижней касательной завершается, когда мостик окажется в положении, при котором не существует вершин, лежащих справа от вектора [math](u,v)[/math].

3 Литература

<references \>