Алгоритм Δ-шагания

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Алгоритм дельта-шагания (англ. Δ-Stepping) предназначен для решения задачи поиска кратчайшего пути на графе. Для заданного ориентированного взвешенного графа с неотрицательными весами алгоритм находит кратчайшие расстояния от выделенной вершины-источника до всех остальных вершин графа. Алгоритм изначально проектировался с целью эффективной параллелизации.

1.5 Схема реализации последовательного алгоритма

Псевдокод последовательного алгоритма:

Входные данные:
  граф с вершинами V, рёбрами E с весами W;
  вершина-источник u;
  параметр Δ > 0.
Выходные данные: расстояния d(v) до каждой вершины v ∈ V от вершины u.

procedure DeltaStepping(V, E, W, u, Δ):
     LightEdges := { e ∈ E | W(e) ≤ Δ }
     HeavyEdges := { e ∈ E | W(e) > Δ }
     for each v ∈ V do d(v) := ∞
     Relax(u, 0)
     while any({ Buckets(i) ≠ ∅ }):
         Bucket := first({ Buckets(i) ≠ ∅ })
         Deleted := ∅
         while Bucket ≠ ∅:
             Requests := FindRequests(Bucket, LightEdges)
             Deleted := Deleted ∪ Bucket
             Bucket := ∅
             RelaxAll(Requests)
         RelaxAll(FindRequests(Deleted, HeavyEdges))
         
procedure Relax(v, x):
    if x < d(v):
        OldBucket := B(⌊d(v) / Δ⌋)
        NewBucket := B(⌊x / Δ⌋)
        OldBucket := OldBucket \ {v}
        NewBucket := NewBucket ∪ {v}
        d(v) := x
        
procedure RelaxAll(R):
    for each (v, x) ∈ R do Relax(v, x)
    
function FindRequests(V', E'):
    return { (w, d(w) + W(v, w)) | v ∈ V' and (v, w) ∈ E'}

1.6 Последовательная сложность алгоритма

Средняя последовательная сложность алгоритма на графах со случайными весами [math]O(n + m + dL)[/math], где [math]L[/math] – максимальный суммарный вес кратчайшего пути, [math]d[/math] – максимальная длина кратчайшего пути.

1.8 Ресурс параллелизма алгоритма

Средняя время работы параллельного алгоритма на графах со случайными весами на [math]O(n)[/math] процессорах составляет [math]O((dL + \ln n) \ln n)[/math] со средней работой [math]O(n + m + dL \ln n)[/math]

1.9 Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: взвешенный граф [math](V, E, W)[/math] ([math]n[/math] вершин [math]v_i[/math] и [math]m[/math] рёбер [math]e_j = (v^{(1)}_{j}, v^{(2)}_{j})[/math] с весами [math]f_j[/math]), вершина-источник [math]u[/math].

Объём входных данных: [math]O(m + n)[/math].

Выходные данные (возможные варианты):

1. для каждой вершины [math]v[/math] исходного графа – последнее ребро [math]e^*_v = (w, v)[/math], лежащее на кратчайшем пути от вершины [math]u[/math] к [math]v[/math], или соответствующая вершина [math]w[/math];
2. для каждой вершины [math]v[/math] исходного графа – суммарный вес [math]f^*(v)[/math] кратчайшего пути от от вершины [math]u[/math] к [math]v[/math].

Объём выходных данных: [math]O(n)[/math].

1.10 Свойства алгоритма

Предельные случаи алгоритма Δ-шагания:

• при [math]\Delta \to 0[/math]: алгоритм Дейкстры;
• при [math]\Delta \to \infty[/math]: алгоритм Беллмана-Форда.

2 Программная реализация алгоритма

2.7 Существующие реализации алгоритма

• C++, MPI: Parallel Boost Graph Library (функция delta_stepping_shortest_paths). Get Perf.Data
• Gap: Get Perf.Data