DevbunovaViliana / Метод главных компонент (PСA)

Автор: Девбунова Вилиана Олеговна, студент ММП ВМК МГУ (417)

1 Свойства и структура алгоритма

1.1 Общее описание алгоритма

Метод Главных Компонент (англ. Principal Components Analysis, PCA) — один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ.Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как распознавание образов, компьютерное зрение, сжатие данных и т. п. Вычисление главных компонент сводится к вычислению собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы исходных данных или к сингулярному разложению матрицы данных.

Иногда метод главных компонент называют преобразованием Кархунена-Лоэва (англ. Karhunen-Loeve)или преобразованием Хотеллинга (англ. Hotelling transform). Другие способы уменьшения размерности данных — это метод независимых компонент, многомерное шкалирование, а также многочисленные нелинейные обобщения: метод главных кривых и многообразий, поиск наилучшей проекции (англ. Projection Pursuit), нейросетевые методы «узкого горла», самоорганизующиеся карты Кохонена и др.

1.2 Математическое описание алгоритма

Приводится математическое описание решаемой задачи в виде совокупности формул и соотношений, как это принято в книгах и учебниках. По возможности, используются общепринятые обозначения и способы записи. Должны быть явно определены все использованные обозначения и описаны свойства входных данных. Представленное описание должно быть достаточным для однозначного понимания постановки решаемой задачи для человека, знающего математику.

Задача анализа главных компонент имеет много версий, вот базовые из них:

• аппроксимировать данные линейными многообразиями меньшей размерности;
• найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые разброс данных максимален;
• найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально;
• для данной многомерной случайной величины построить такое ортогональное преобразование координат, в результате которого корреляции между отдельными координатами обратятся в нуль.

Мы будем рассматривать только один вариант.

1.3 Вычислительное ядро алгоритма

Мы будем реализовывать PCA с помощью сингулярной декомпозиции значений, или сокращенно SVD. Для вычисления собственных значений и соответствующих им собственных векторов будем использовать алгоритм собственных значений Якоби

1.3.1 Алгоритм вычисления собственных значений методом Якоби

Алгоритм собственных значений Якоби - это итерационный метод вычисления собственных значений и собственных векторов вещественной симметричной матрицы. Алгоритм вычисляет вектор [math]e[/math], содержащий собственные значения , и матрицу [math]E[/math], содержащую соответствующие собственные векторы, т. е. [math]e_i[/math]-собственное значение, а столбец [math]E_i[/math]-ортонормированный собственный вектор для [math]e_i[/math], для [math]i = 1,...,n[/math].

1.3.2 Сингулярная декомпозиция (SVD)

Сингулярная декомпозиция, или сокращенно SVD, - это метод матричного разложения для сведения матрицы к ее составным частям с целью упрощения некоторых последующих матричных вычислений. SVD матрицы [math]M[/math] - это факторизация [math]M[/math] в произведение трех матриц [math]M = U \Sigma V^T[/math], где столбцы [math]U[/math] и [math]V[/math] ортонормированы, а матрица [math]\Sigma[/math] диагональна с положительными вещественными числами. Учитывая, что [math]M[/math] - действительная матрица [math]m × n[/math], которую мы хотим разложить, [math]U[/math] - матрица [math]m × m[/math], [math]\Sigma[/math] - диагональная матрица [math]m × n[/math], а [math]V^T[/math] - транспонирование матрицы [math]n × n[/math].

SVD является наиболее известным и широко используемым методом декомпозиции матриц. Все матрицы имеют сингулярное разложение, которое делает их более стабильными. Он часто используется в широком спектре приложений, включая сжатие, шумоподавление и сокращение данных.

Алгоритм разложения матрицы с помощью SVD:

• 1. Вычислить эрмитов матрицу (найти сопряженную транспонированную), [math]M^T[/math] из матрицы [math]M[/math].
• 2. Вычислить умножение [math]M^TM[/math]
• 3. Вычислить собственные значения и собственные векторы [math]M^TM[/math], используя алгоритм Якоби.
• 4. Отсортировать собственные значения и соответствующие столбцы собственных векторов в порядке убывания собственных значений.
• 5. Взять квадратный корень из собственных значений, чтобы получить сингулярные значения матрицы [math]M[/math].
• 6. Построить диагональную матрицу [math]\Sigma[/math], расположив сингулярные значения в порядке убывания вдоль ее диагонали. Заметим, что размер [math]\Sigma[/math] есть [math]m × n[/math], таким образом, помещает верхние [math]r[/math] сингулярных значений на диагональ и отбрасывает остальные [math](r = min(m, n))[/math] и блок с [math]m - r[/math] строками и [math]n - r[/math] столбцами содержит нули. Также вычислить [math]\Sigma^{-1}[/math]
• 7. Отсортированные столбцы собственных векторов представляют матрицу [math]V[/math]. Вычислить ее транспонирование [math]V^T[/math]
• 8. Вычислить матрицу [math]U[/math], как [math]U = M V \Sigma ^{-1}[/math]

1.3.3 Анализ основных компонентов (PCA)

Анализ главных компонент, или сокращенно PCA, - это математическая процедура, которая преобразует набор (возможно коррелированных) переменных в меньшее число некоррелированных переменных, которые называют главными компонентами. Цель анализа главных компонент состоит в том, чтобы уменьшить размерность (количество признаков) набора данных, но сохранить как можно больше исходной изменчивости в данных. На первый основной компонент приходится большая часть изменчивости данных, на второй основной компонент приходится большая часть оставшейся изменчивости и т. д. PCA можно рассматривать как метод проекции, при котором данные с [math]n[/math]-признаками проецируются на подпространство с [math]n[/math] (или меньшим количеством) признаков, сохраняя при этом большую часть информации.

Алгоритм вычисления главных компонент:

• 1. Входной набор данных [math]D[/math] c [math]s[/math] объектами и [math]f[/math] признаками, т. е. размерность [math]D[/math] равна [math]s × f[/math].
• 2. Получить собственные значения с помощью алгоритма Якоби и [math]U[/math] путем сингулярного векторного разложения матрицы [math]D[/math] (или альтернативной матрицы [math]D^T[/math] ).
• 3. Выбрать [math]k[/math] столбцов матрицы [math]U[/math], соответствующие [math]k[/math] наибольшим собственным значениям. Здесь [math]k[/math] - число измерений нового подпространства объектов [math](k ≤ f)[/math]
• 4. Построить проекции матрицы [math]W^T[/math] главных компонент на выбранные [math]k[/math] собственных векторов.
• 5. Преобразовать исходный набор данных [math]D[/math] через [math]W[/math] и получить [math]k[/math]-мерное подпространство признаков [math]\hat{D}[/math].

Обратите внимание, что значения во входном наборе данных D должны быть стандартизированы.

3 Литература

[1] Wikipedia contributors. Principal component analysis. In Wikipedia, The Free Encyclopedia from https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis