Участник:Илья Карандеев(ВТМ, 403)/QR-Факторизация методом Хаусхолдера
Содержание
- 1 Свойства и структура алгоритма
- 2 Программная реализация алгоритма
- 2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
- 2.2 Локальность данных и вычислений
- 2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
- 2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
- 2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
- 2.6 Выводы для классов архитектур
- 2.7 Существующие реализации алгоритма
- 3 Литература
1 Свойства и структура алгоритма
2 Программная реализация алгоритма
2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма
Ниже приведена моя реализация QR-факторизации методом Хаусхолдера. Она написана с помощью библиотеки cblas - оболочки замечательной фортрановской библиотеки под си. Это для одного процесса, нераспараллеленная программа. Ее ядро (то что отнимает больше всего времени при счете) - функции из cblas на 52-58 строке. После факторизации производится проверка - подсчет погрешности отношения нормы разности произведения вычисленных Q и R матриц и изначальной A-матрицы к норме матрицы A. Вычисленный порядок погрешности на персональном компьютере примерно 10^(-14), что есть довольно хорошо.
А это распараллеленная реализация. Распараллеливание осуществляется при помощи библиотекки open MPI. Данные у каждого процесса процесса
свои. Они пересылаются друг другу, что и следует из названия библиотеки: "Message passing interface". В этой реализации проверка
||Q*R - A|| / ||A|| выполняется только при условии, что размер матрицы кратен числу процессов. Написать проверку и в этом случае
сложнее из-за того, что нужно пересылать размер отдела матрицы, которую обрабатывает процесс (а он, вообще говоря, может быть разным по размеру,
пусть и отличается не более чем на единицу).
2.2 Локальность данных и вычислений
2.3 Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма
2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации
Вот исследование масштабируемости параллельной реализации QR-факторизации квадртной матрицы методом Хаусхолдера. Оно проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов-2" суперкомпьютерного комплекса МГУ. В первом эксперименте, эксперименте на сильную масштабируемость, бралась матрица размером 14000 на 14000. Количество процессов в эксперименте рассматривалось таким: 1, 2, 4, 8. 14, 28, 56, 112, 224, 448, 700. Этот выбор обусловлен тем, что в одном узле на суперкомпьютере "Ломоносов-2" 14 ядер, а доступное количество узлов автору было равным 50. То есть максимум можно было задействовать 700 ядер.
Следующая серия экспериментов на масштабируемость была проведена на 1, 2, 4, 14, 28 и 42 ядрах. Для матриц
от 200 до 8500, выбранных более-менее произвольно. Вот график в разных проекциях, полученный по результатам экспериментов.
В целом, все работает объяснимо: больше размерность матрицы → больше время счета. Больше процессов → меньше время счета. Можно заметить, что на малых размерах матрицы при большом количестве процессов начинает падать эффективность. Возможно, это из-за накладных расходов из-за обмена сообщениями между процессами.
2.5 Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма
2.6 Выводы для классов архитектур
2.7 Существующие реализации алгоритма
Большинство пакетов: LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и прочие - используют для QR-разложения матриц именно метод Хаусхолдера, правда, в различных модификациях (обычно с использованием BLAS). Существует большая подборка исследовательских работ по блочным версиям.
Можно найти и много пользовательских реализаций:
На языке Python:
https://www.quantstart.com/articles/QR-Decomposition-with-Python-and-NumPy/
https://gist.github.com/Hsankesara/cd35edb30825df19f182a6ecf96e126e
На языке R: https://rpubs.com/aaronsc32/qr-decomposition-householder - R
Для MatLab: https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/169648-qr-factorization-using-householder-transformations
3 Литература
В. Б. Андреев: "Численные методы"
