Участник:Илья Карандеев(ВТМ, 403)/QR-Факторизация методом Хаусхолдера

2 Программная реализация алгоритма

2.1 Особенности реализации последовательного алгоритма

2.1.1 Реализация без распараллеливания

Ниже приведена моя реализация QR-факторизации методом Хаусхолдера. Она написана с помощью библиотеки cblas - оболочки замечательной фортрановской библиотеки BLAS для си. Это для одного процесса, нераспараллеленная программа. Ее ядро (то что отнимает больше всего времени при счете) - функции из cblas на 52-58 строке. После факторизации производится проверка ||Q * R - A|| / ||A||. Q - ортогональная матрица, R - верхняя треугольная. Их вычисление цель реализации алгоритма. Ну и Q * R должно примерно равняться A, это следует из теории. Вернее, без погрешности вычисления, в точности Q * R = A. Вычисленный порядок погрешности на персональном компьютере примерно 10^(-14), что есть довольно хорошо.

2.1.2 Распараллеленная реализация

А это распараллеленная реализация. Распараллеливание осуществляется при помощи библиотекки open MPI. Данные у каждого процесса свои. Они пересылаются друг другу, что и следует из названия библиотеки: "Message passing interface". В этой реализации проверка ||Q*R - A|| / ||A|| выполняется только при условии, что размер матрицы кратен числу процессов. Написать проверку в этом случае сложнее из-за того, что нужно пересылать размер отдела матрицы, которую обрабатывает процесс (а он, вообще говоря, может отличаться у разных процессво, пусть и не более чем на единицу).

В изначальной версии программы ядром (тем, что занимает бОльшую часть времени при исполнении) являлась, как ни странно, пересылка между процессами. Это узкое место было исправлено: рассылка одного процесса всем остальным стала исполняться не при помощи функции MPI_Isend, а при помощи специальной функции - MPI_Bcast. Начальная версия программы, хоть и работала, но не только не приносила выигрыша в скорости, но даже замедляла распараллеленную версию относительно исходной, однопроцессной.

2.4 Масштабируемость алгоритма и его реализации

Вот исследование масштабируемости параллельной реализации QR-факторизации квадртной матрицы методом Хаусхолдера. Оно проводилось на суперкомпьютере "Ломоносов-2" суперкомпьютерного комплекса МГУ. В первом эксперименте, эксперименте на сильную масштабируемость, бралась матрица размером 14000 на 14000. Количество процессов в эксперименте рассматривалось таким: 1, 2, 4, 8. 14, 28, 56, 112, 224, 448, 700. Этот выбор обусловлен тем, что в одном узле на суперкомпьютере "Ломоносов-2" 14 ядер, а доступное количество узлов автору было равным 50. То есть максимум можно было задействовать 700 ядер.

Следующая серия экспериментов на масштабируемость была проведена на 1, 2, 4, 14, 28 и 42 ядрах. Для матриц от 200 до 8500, выбранных более-менее произвольно. Вот график в разных проекциях, полученный по результатам экспериментальных запусков программы на суперкомпьютере "Ломоносов-2".

В целом, все работает объяснимо: больше размерность матрицы → больше время счета. Больше процессов → меньше время счета. Можно заметить, что на малых размерах матрицы при большом количестве процессов начинает падать эффективность. Возможно, это из-за накладных расходов из-за обмена сообщениями между процессами.

2.7 Существующие реализации алгоритма

Большинство пакетов: LINPACK, LAPACK, SCALAPACK и прочие - используют для QR-разложения матриц именно метод Хаусхолдера, правда, в различных модификациях (обычно с использованием BLAS). Существует большая подборка исследовательских работ по блочным версиям.

Можно найти и много пользовательских реализаций:

На языке Python: https://www.quantstart.com/articles/QR-Decomposition-with-Python-and-NumPy/
https://gist.github.com/Hsankesara/cd35edb30825df19f182a6ecf96e126e

На языке R: https://rpubs.com/aaronsc32/qr-decomposition-householder - R

Для MatLab: https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/169648-qr-factorization-using-householder-transformations

3 Литература

В. Б. Андреев: "Численные методы"